Como gerar n pontos equidistantes em um espaço dimensional n-1

Como dito, eu quero construir um programa para gerar n pontos equidistantes em um espaço euclidiano. Pelo que eu sei

• 1d: todos os pontos
• 2d: todos os triângulos equilaterais
• 3d: todos os tetraedros equilaterais
• até 3d: suponho que seja chamado de hipertriangulo equilateral

Portanto, meu problema é o seguinte, em um espaço n-1 euclidiano, fornecendo um ponto definido para construir o outro n-1, a fim de ter um hiper-triângulo equilateral com um d distante entre cada ponto.

Suponho que podemos começar como a seguir, por exemplo, um espaço 3D.

• p1 = (x1, y1, z1) fixo
• p2 = (x2, y2, z2)
• p3 = (x3, y3, z3)
• p4 = (x4, y4, z4)
• d

Começamos a consertar p2 sabendo d e p1

• $d²=(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2$

Temos 3 variáveis ​​x2, y2, z2. Podemos consertar aleatoriamente dois deles e determinar o terceiro sem problemas.

Então, para o segundo ponto, temos agora 2 equações para defini-lo:

• $d²=(x_1-x_3)^2 + (y_1-y_3)^2 + (z_1-z_3)^2$
• $d²=(x_2-x_3)^2 + (y_2-y_3)^2 + (z_2-z_3)^2$

Como anteriormente, presumo que possamos consertar 2 variáveis ​​para determinar a terceira.

Para o último ponto, agora temos 3 equações que o definiram.

Portanto, para um espaço dimensional n-1, temos a equação n-1 para definir o último ponto.

Não sei como resolver esse tipo de sistema composto de equação quadrática com uma variável e se o processo que consiste em fixar a dimensão n-1 para determinar a última leva a um hipertriangulo equidistante. Além disso, existem outros métodos com uma complexidade menor e mais fácil de implementar.

Espero ter sido suficientemente claro e agradeço a sua ajuda.

Suponho que estamos trabalhando em .$\mathbb{R}^n$

Antes de tudo, observe que um simplex regular determina efetivamente todos os outros. De fato, se são dois conjuntos de pontos em que atendem à condição de regularidade, eles podem ser obtidos um do outro, compondo no máximo uma isometria e uma transformação homotética do espaço afim (o converse também é verdadeiro).$n-$$S_1, S_2$$\mathbb{R}^n$

Portanto, é suficiente construir um simplex unitário centrado na origem. Visualizamos cada vértice do simplex como um elemento do espaço vetorial dimensional real .$n-$$v_1, v_2, \dots v_{n+1}$$n$

Considere dois vértices do simplex, deixe- ser a origem e ser o plano que passa . O ângulo é exatamente . Para provar isso, observamos que:$v_1, v_2$$O$$\pi$$v_1, v_2, O$$\vartheta =\angle v_1 O v_2$$\arccos (-1/n)$

$$0 = \left \| \sum_{i} v_i \right \|^2 = (n+1) + 2 \cos\vartheta \binom{n+1}{2}$$

Deduzimos que o seguinte se aplica:

• $\forall i \quad \| v_i \| = 1$

• $\forall i \neq j \quad \left \langle v_i, v_j\right \rangle = -1/n$

Podemos assumir sem perda de generalidade que estão na mesma linha, que está no mesmo plano que os outros e assim por diante (em geral, que para cada , estão no mesmo subespaço de com dimensão ). Portanto, podemos escrever os vetores por coordenadas da seguinte maneira:$v_1, v_2$$v_3$$k$$v_1, v_2, \dots v_k$$\mathbb{R}^n$$k$

$$\begin{array}{r c l} \begin{array}{r} v_1 \\ v_2 \\ \cdots \\ v_{n+1} \end{array} & \begin{array}{r} = \\ = \\ \\ = \end{array} & \begin{array}{c c c c c c} (x_{1,1} & 0 & 0 & 0 & \dots & 0)^T \\ (x_{2,1} & x_{2,2} & 0 & 0 & \dots & 0)^T \\ \\ (x_{n+1, 1} & x_{n+1, 2} & x_{n+1, 3} & x_{n+1, 4} & \dots & x_{n+1, n+1})^T \\ \end{array} \end{array}$$

A primeira equação determina exclusivamente e a segunda todo . Agora usamos novamente o primeiro para calcular e com o segundo determinamos todo o restante .$x_{1,1}$$x_{m,1}$$x_{2,2}$$x_{2, m}$

A continuação do procedimento de maneira semelhante calcula os valores das coordenadas de todos os vértices.

Você pode criar n-1 pontos equidistantes usando os vetores unitários ao longo de cada um dos eixos aka. (1, 0, 0, 0, ..., 0); (0, 1, 0, 0, ..., 0); (0, 0, 1, 0, ..., 0); etc., o último enésimo ponto será ao longo da direção 1, 1, 1, ..., 1.

Então você pode usar uma escala para definir a distância entre os pontos de a e traduzir para mover um dos pontos para o ponto fixo$\sqrt 2$$d$