Conversão PEG para BNF

A análise de gramáticas de expressão (PEGs) é inequívoca e possui uma sintaxe superficialmente semelhante ao BNF , mas inclui três diferenças importantes:

1. O operador de escolha ordenada e1 / e2 / e3.
2. O e predicado &.
3. O operador não !.

Eu tenho algumas perguntas:

1. Os idiomas reconhecidos pelos PEGs são todos livres de contexto?
2. Se a resposta a (1) for negativa, existem formalismos gramaticais expressivos garantidos para produzir apenas gramáticas inequívocas? Em particular, cair &e !produzir apenas gramáticas sem contexto?
3. Se todos os PEGs forem livres de contexto, eles podem ser convertidos em um BNF equivalente por meio de um algoritmo?

O contexto é que eu gostaria de calcular funções geradoras para uma biblioteca PEG usando o teorema de enumeração de Chomsky-Schützenberger . Isso parece exigir uma especificação da gramática em um formato padrão semelhante ao BNF.

1. Os idiomas reconhecidos pelos PEGs são todos livres de contexto?

Não, como apontado por Brian Ford em seu artigo de 2004 sobre a introdução de PEGs , do qual é a seguinte citação curta:

Teorema: A classe de PELs inclui linguagens sem contexto.

Prova: a linguagem de exemplo clássica não é livre de contexto, mas podemos reconhecê-la com um PEG , onde R contém as seguintes definições: $a^nb^nc^n$$G = (\{A, B, D\}, \{a, b, c\}, R, D)$

$$A \leftarrow aAb / ε$$ $$B \leftarrow bBc / ε$$ $$D \leftarrow \&(A !b) a^∗ B !.$$

2. Se a resposta a (1) for negativa, existem formalismos gramaticais expressivos garantidos para produzir apenas gramáticas inequívocas? Em particular, seria soltar eproduzir apenas gramáticas livres de contexto?$\&$$!$

Mesmo sem(e, portanto, sem , uma vez que é formalmente definido em termos de ), você ainda teria que lidar com o complemento implícito oculto na definição de escolha ordenada. Não tenho um exemplo concreto de escolha ordenada que leve a uma não CFL, mas tentaria encontrar uma começando com dois CFGs e cuja diferença não é uma CFL e que pode ser convertida nos PEGs e . Agora, se é algum símbolo que não está em nenhum dos idiomas, o PEG deve reconhecer , que não é uma CFL.$!$$\&$$!$$L_1$$L_2$$P_1$$P_2$$\mathbb{c}$$P_2 / P_1\mathbb{c}$$L_2 \cup (L_1- L_2)\mathbb{c}$

3. Se todos os PEGs forem livres de contexto, eles poderão ser convertidos em um BNF equivalente por meio de um algoritmo?

Se minha conjectura acima estiver correta, essa pergunta não será aplicável, mas, de qualquer forma, não há algoritmo que eu conheça para converter entre PEGs e CFGs, e acredito que a equivalência de um PEG e um CFG é indecidível. Este fato complica o procedimento de prova que proponho acima. :)