O fechamento de idiomas regulares é fechado sob certas operações de corte

Seja uma função inteira. Para um idioma , defina$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$L$

$$f(L) = \{w \mid \exists x : |x| = f(|w|) \text{ and } wx \in L\}$$

Por exemplo, se essa é apenas a operação "reduzida pela metade", e sabe-se que os idiomas regulares estão fechados por baixo disso - apenas ande simultaneamente para frente e para trás (onde a caminhada para trás tenta todos os caminhos possíveis, como em a construção do subconjunto).$f(n) = n$

De acordo com o HMU, os idiomas regulares também são fechados sob as funções . É fácil ver para , ou qualquer função linear, basta andar para trás com a velocidade. Como isso pode ser feito para ou ? Não parece viável apenas aumentar a velocidade, pois isso exigiria lembrar o número de etapas executadas até agora.$2n, n^2, 2^n$$2n$$n^2$$2^n$

Além disso, podemos adaptar a solução para obter algumas condições gerais suficientes em que tem essa propriedade? (Eu duvido que haja condições necessárias e suficientes, mas gostaria de provar que está errado)$f$

Faça um DFA $\langle Q,q_0,F,\delta \rangle$ para $L$. Para todo estado$q \in Q$, sabe-se que

$$N_q = \{ n : \delta(q,x) \in F \text{ for some $|x|=n$} \}$$ é um conjunto eventualmente periódico. Nestes termos, temos $$f(L) = \bigcup_{q \in Q} \{ w : \delta(q_0,w) = q \text{ and } |w|+f(|w|) \in N_q\}.$$ Alguns argumentos simples mostram que $f$é admissível (o conjunto de idiomas regulares é fechado em$f$) se para cada módulo $m$, existe um DFA $\langle Q',q'_0,\delta' \rangle$ sobre o alfabeto $\{0\}$ que "computa" $|w|+f(|w|) \bmod m$, no sentido de que na entrada $0^n$, você pode recuperar $n+f(n) \bmod{m}$ de $\delta'(q'_0,0^n)$. Isso, por sua vez, acontece se para cada módulo$m$, o mapeamento de funções $n$ para $n+f(n) \bmod{m}$é eventualmente periódico. Desde a$n \bmod{m}$ periódico, concluímos que:

Uma função $f$ é admissível se todos $m$, a função $\psi_{f,m}(n) = f(n) \bmod{m}$ é eventualmente periódico.

O teorema chinês dos restos mostra que basta considerar valores de $m$ quais são os principais poderes.

Todos os polinômios são claramente admissíveis: se $f$ é um polinômio, então $\psi_{f,m}$ tem período $m$. Funções exponenciais$a^n$ também são admissíveis: se $m=p^k$, qualquer então $p \mid a$, nesse caso $\psi_{f,m}$ é eventualmente zero, ou $(p,a)=1$, nesse caso a fórmula de Euler mostra que $\psi_{f,m}$ tem período $\varphi(m)$.

Não tenho certeza se o conjunto de funções admissíveis pode ser caracterizado ainda mais - esta é uma direção de pesquisa interessante.