Problemas de função e

Acho difícil encontrar definições formais de classes de complexidade de funções. Aqui estão dois da Wikipedia.

Uma relação binária $P(x,y)$está em FP se e somente se houver um algoritmo de tempo polinomial determinístico que, dado$x$, pode encontrar alguns $y$ de tal modo que $P(x,y)$ detém.

A definição acima parece implicar que, para todas as relações no PF, é válido que para cada$x$ existe pelo menos um $y$ cujo comprimento é polinomial no comprimento de $x$. No entanto, não parece restringir a existência de mais$y$ por isso $x$ de modo a $P(x,y)$ segura enquanto $y$ é exponencialmente maior que $x$.

Uma relação binária $P(x,y)$, Onde $y$ é no máximo polinomialmente maior que $x$, está no FNP se e somente se houver um algoritmo de tempo polinomial determinístico que possa determinar se$P(x,y)$ mantém dado tanto $x$ e $y$.

Esta definição implica que, para uma relação no PNF , não é necessário que exista pelo menos um$y$ para cada $x$ de modo a $P(x,y)$detém. Implica, porém, que se$P(x,y)$ detém, $y$ deve ser no máximo polinomialmente maior que $x$.

Na literatura, pode-se ler que FP $\subseteq$ FNP . Tanto quanto eu entendo (ou não), isso não pode ser verdade. É possível que, para alguma relação$R(x,y) \in$ FP existe uma$(x,y)$ de modo a $R(x,y)$ detém e $y$ é exponencialmente maior que $x$. Por esse motivo , essa relação não pertence ao FNP e, portanto, ao FP $\not\subseteq$ FNP .

As definições na Wikipedia estão incompletas? Estou esquecendo de algo?

De qualquer maneira, quais são algumas boas fontes para ler sobre problemas de função (considero-me conhecedor de problemas de decisão)?

Encontrei o seguinte no livro de Papadimitriou, Computational Complexity, que achei satisfatório.

Deixei $R \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*$ ser uma relação binária em strings.

$R$é chamado polinomialmente decidível se houver uma máquina de Turing determinística que decide o idioma$\{x;y : (x,y) \in R\}$ em tempo polinomial.

Dizemos que $R$é polinomialmente equilibrado se$(x,y) \in R$ implica $|y| \leq |x|^k$ para alguns $k \geq 1$.

Então Papadimitriou observa o seguinte, que basicamente é outra definição para NP :

Deixei $L \subseteq \Sigma^*$ seja uma linguagem. $L \in$ NP se e somente se houver uma relação polinomialmente decidível e polinomialmente equilibrada$R$, de tal modo que $L = \{x : (x,y) \in R$ para alguns $y \}$.

Algumas dezenas de páginas depois ...

O problema da função associado ao $L$ [$\in$ NP ], denotado$FL$ [aqui $L$ significa a linguagem mencionada, não o espaço de registro], é o seguinte problema computacional:

Dado $x$, encontre uma string $y$ de tal modo que $R_L(x,y)$se existe uma string; se essa string não existir, retorne "no".

Então

A classe de todos os problemas de função associados como os idiomas no NP é chamada FNP . FP é a subclasse resultante se considerarmos apenas problemas de função no FNP que podem ser resolvidos em tempo polinomial.

Vamos esquecer as definições da Wikipedia e criar as nossas.

Uma função $f$ é em $\mathsf{FP}$ se houver uma máquina polytime Turing que na entrada $x$ saídas $f(x)$.

Uma função $f$ é em $\mathsf{FNP^\ast}$ E se:

1. A função $f$ é polinomialmente limitado: existe um polinômio $p$ de tal modo que $|f(x)| \leq p(|x|)$.

2. Existe uma máquina polytime Turing que, dada a $x,y$ determina se $f(x)=y$.

E se $f$ é em $\mathsf{FP}$então é definitivamente polinomialmente limitado. Desde que podemos calcular$f(x)$ em tempo polinomial, dado $x,y$ nós podemos calcular $f(x)$ e compare com $y$, tudo em tempo polinomial.

Consultando o zoológico de complexidade , parece que$\mathsf{FNP}$ na verdade tem uma definição diferente, e que $\mathsf{FP}$ possui duas definições diferentes e incompatíveis, sendo uma delas a mencionada acima.

Quero adicionar outro conjunto de definições de Automata, Computability and Complexity, de Elaine Rich.

A classe FP : uma relação binária$Q$ é em $\mathsf{FP}$ se houver um algoritmo de tempo polinomial determinístico que, dada uma entrada arbitrária $x$, pode encontrar alguns $y$ de tal modo que $(x,y) \in Q$.

A classe FNP : uma relação binária$Q$ é em $\mathsf{FNP}$ se houver um verificador de tempo polinomial determinístico, dado um par de entradas arbitrário $(x,y)$, determina se $(x,y) \in Q$. Equivalentemente,$Q$ é em $\mathsf{FNP}$ se houver um algoritmo de tempo polinomial não determinístico que, dada uma entrada arbitrária $x$, pode encontrar alguns $y$ de tal modo que $(x,y) \in Q$

Isso é apenas um pouco diferente das definições encontradas na Wikipedia, mas implica coisas diferentes, no entanto. Mais importante, Elaine Rich, sua definição de$\mathsf{FNP}$ não implica que se $(x,y) \in Q$, $y$ tem que ser polinomial em$x$. É provável que as definições wiki sejam cópias desleixadas delas.

A partir dessas definições, é mais claro que $\mathsf{FP} \subseteq \mathsf{TFNP} \subseteq \mathsf{FNP}$.