Equivalência entre duas definições de largura da árvore

Largura da árvore :

1) Por gráficos de acordes : tamanho da maior camarilha $(\omega (G))$ - 1 em uma conclusão cordial do gráfico $G$ .

Uma decomposição de árvores de $G = (V , E)$ consiste em uma árvore $T$ (em um conjunto de nós diferente de $G$ ) e um subconjunto $V_t ⊆ V$ associado a cada nó $t$ do $T$ . (Vamos chamar esses subconjuntos $V_t$ as “peças” da decomposição da árvore.) Às vezes, escreveremos isso como o par ordenado $(T , {V_t : t ∈ T })$ . A árvore T e a coleção de peças $\{V_t : t ∈ T \}$ deve satisfazer as três propriedades a seguir

(Cobertura do nó) Todos os nós do $G$ pertence a pelo menos uma peça $V_t$ .

(Cobertura da borda) Para cada borda $e$ do $G$ , tem alguma peça $V_t$ contendo ambas as extremidades de $e$ .

(Coerência) Vamos $t_1, t_2,$ e $t_3$ ser três nós de $T$ de tal modo que $t_2$ encontra-se no caminho de $t_1$ para $t_3$ . Então, se um nó $v$ do $G$ pertence a ambos $V_{t_{1}}$ e $V_{t_{3}}$ , também pertence a $V_{t_2}$

Então, definimos a largura de uma decomposição de árvore $(T , {V_t })$ ser um a menos do que o tamanho máximo de qualquer peça $V_t$ (No geral $t$ ):

w i d t h (T, V_{t}) = m a x | V_{t} | - 1

$width (T , {V_t}) = max |V_t| − 1$

Reivindicação 1: Se o tamanho da maior camarilha em uma decomposição acorde do gráfico for $k$ então, por decomposição da árvore, obteremos a largura da árvore $k$

Prova: vamos supor que o maior tamanho de clique no gráfico de conclusão de acordes seja $k$ , existe um saco (subconjunto de vértices do gráfico) que contém a clique (devido à cobertura da borda). então terminamos.

reivindicação 2 : se a largura da árvore for $k$ pelo método de decomposição de árvores, em seguida, pelo método de conclusão de acordes também é $k$

Pergunta: Como provar a reivindicação 2. Serão bem-vindas as provas de alto nível.

graph-theory parameterized-complexity

— Shiv
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Sobre a prova da reivindicação 1: É realmente claro que a conclusão do acorde tem uma largura k, da sua prova não é óbvio que isso seja verdade para o gráfico original. Além disso, convém reformular suas reivindicações. Reivindicação 1: Se o tamanho do maior clique em uma decomposição de acordes de gráfico é digamos k, em seguida, pela decomposição árvore teremos largura árvore , pelo menos k

— user53923

sua pergunta é válida, mas acho que decorre da definição de largura da árvore (por definição de corda 1), portanto é verdadeira para o gráfico original ou estou faltando alguma coisa? e pela segunda coisa que você quer dizer

k - 1

$k -1$ ou pelo menos

k

$k$ (consulte o último parágrafo en.wikipedia.org/wiki/Chordal_graph )

— Shiv

Eu acho que você está falando sobre isso

t w (G) \geq ω (G) - 1

$tw(G) ≥ ω(G) − 1$ , mas veja na reivindicação 1, não estou dizendo a maior camarilha do

G

$G$ , Eu estou dizendo a maior camarilha na conclusão cordial de

G

$G$ .

— Shiv

Ah, não, eu estava tentando dizer que, se você fizer uma decomposição em árvore da conclusão dos acordes, claramente terá um saco de tamanho k, mas isso pode ser menos óbvio para o gráfico original. (E sim, eu ver que eu ter perdido essa irritante -1 novamente ... Você está certo)

— user53923

isso se deve às propriedades da conclusão cordial do gráfico original.

— Shiv 27/03

Primeiro, deixe-me observar que a afirmação, conforme declarada na pergunta, é falsa: Considere o seguinte gráfico:

$\begin{matrix} & & 2& - & 3\\ & \diagup\\ 1 & & | & & |\\ & \diagdown \\ & &4 &-& 5 \end{matrix}$

O gráfico completo $5$ vértices é uma conclusão cordial deste gráfico. No entanto, este gráfico possui uma largura de árvore $2$ . (Uma decomposição é $\{1,2,4\}$ , $\{2,3,4\}$ , $\{3,4,5\}$ )

A reivindicação correta é

A largura da árvore $G$ de é o tamanho da maior camarilha $\omega(G) - 1$ em uma conclusão de acordes com o maior clique mínimo do gráfico $G$ .

Agora, uma prova é a seguinte: se a largura da árvore de $G$ por decomposição de árvores é $k$ , então toda decomposição de árvore tem um saco de tamanho pelo menos $k$ . Utilizamos o conceito de um gráfico separador de um artigo de Parra e Scheffler , em particular o fato de que cada clique máximo no gráfico separador de $G$ é uma decomposição de árvores de $G$ (Isso pode ser visto comparando a definição de decomposição de árvores com as do artigo)

Então, pelo Teorema 4.7 $^*$ do mesmo artigo, cada conclusão mínima de acordes $G$ tem todos os sacos de decomposição de uma árvore como um clique. Isso significa que cada conclusão mínima de acordes $G$ tem uma panelinha de tamanho $k$ , portanto, o método de conclusão de acordes também fornece uma largura de árvore de $k$ . $\square$

*: Parafraseado em nossa notação, o Teorema 4.7 declara:

Um gráfico $H$ é uma conclusão cordial mínima de $G$ se e apenas se $H$ é o gráfico $G$ com exatamente as arestas adicionadas, de modo que todos os vértices sejam $\mathcal{S}$ são panelinhas. Aqui $\mathcal{S}$ é um clique máximo no gráfico separador, que consiste em separadores mínimos de $G$ .

Tentei encontrar uma prova usando apenas técnicas elementares, mas não acho que seria fácil encontrar uma prova fácil sem uma teoria mais profunda.

— Lagarto discreto
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