Remova o número mínimo de vértices para desconectar o gráfico

Considere um gráfico não direcionado com uma fonte e um vértice de coletor. Gostaríamos de remover o número mínimo de vértices nesse gráfico para desconectar qualquer caminho entre a origem e o coletor.

Podemos fazer isso usando, por exemplo, um algoritmo de fluxo máximo e min-cut?

algorithms graph-theory network-flow

— babysnow
fonte

Deve funcionar (presumo que todas as arestas tenham a mesma capacidade).

— A.Schulz

Verifique esta pergunta em CSTheory

— Adriann

(Essa resposta foi originalmente fornecida como parte da pergunta, com o objetivo de ser verificada.)

Minha intuição me diz que podemos usar o algoritmo max-flow e min-cut para resolver esse problema:

Substitua cada uma das arestas não direcionadas por um par de arestas direcionadas.
Substitua cada vértice pelos dois vértices e conectados por uma aresta. todas as arestas de serão conectadas com , todas as arestas de saída de serão conectadas com . $v$ $v_\text{in}$ $v_\text{out}$ $v$ $v_\text{in}$ $v$ $v_\text{out}$
Tente encontrar um corte mínimo . As arestas de referem aos vértices que precisamos remover. $M$ $M$

— FrankW
fonte

Não está claro para mim por que isso seria garantido. E se o corte mínimo do gráfico modificado incluir algumas arestas que não estão entre e , mas são uma aresta direcionada da etapa 1 da solução? Por que você acha que cada corte mínimo de vértice do gráfico original estará em correspondência individual com um corte mínimo de borda do gráfico modificado? Eu acho que é necessária uma prova.

v_{in}

$v_\text{in}$

v_{out}

$v_\text{out}$

— DW

Para apoiar a resposta da FrankW, siga os links abaixo. Existe um artigo de Abdol-Hossein Esfahanian que apoia a substituição de uma aresta não direcionada por duas arestas direcionadas. - networkx.github.io/documentation/latest/reference/generated/… - cse.msu.edu/~cse835/Papers/Graph_connectivity_revised.pdf

— Pawan Puttaswamy

@ pawanp, eu não sigo você. Obviamente, você pode substituir uma aresta não direcionada por duas arestas direcionadas. A questão não é se você pode fazê-lo, mas se, após a aplicação do algoritmo FrankW listado, se é garantido que a saída seja uma solução correta para o problema original. Não vejo como a página de manual da biblioteca NetworkX é relevante. Em relação ao artigo: tem 14 páginas, com 11 algoritmos diferentes, a maioria sem comprovação de correção. Você pode ser mais específico sobre exatamente qual parte você vê como relevante aqui?

— DW