Como pode ws com | w | = | s | e será livre de contexto, enquanto w # s não é?

Por que (se houver) o separador está fazendo a diferença entre os dois idiomas?$\#$

Deixe dizer:

$L=\{ws : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

$L_{\#}=\{w\#s : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

Aqui está uma prova e uma gramática representando como uma CFL$L$$CFL$

Abaixo, estou adicionando uma prova para $L_{\#} \notin CFL$ :

O sinal $\#$ realmente faz a diferença? Se sim, por que isso? e se não, qual das provas está errada e onde?

Prova de que $L_{\#} \notin CFL$ :

Suponha, por meio de contradição, que $L ∈ CFL$ . Seja $p > 0$ a constante de bombeamento para $L$ garantida pelo lema de bombeamento para linguagens sem contexto. Consideramos a palavra $s = 0^{m}1^{p}\#0^{p}1^{m}$ , onde $m=p!+p$ modo $s ∈ L$ . Desde $|s| > p$ , de acordo com o lema de bombeamento, existe uma representação $s = uvxyz$ , tal que $|vy| > 0$ , $|vxy| ≤ p$ , e $uv^{j}xy^{j} z ∈ L$ para cada $j ≥ 0$ .

Temos uma contradição por casos:

• Se ou contêm : Então, para , obtemos que não contém , então em em contradição.$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$\#$$uxz \notin L$

• Se e forem deixados em : Então, para , obtemos que está no formato , onde, Assim .$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| < |x|$$uxz \notin L$

• Se e estiverem certos em : Semelhante ao último caso.$v$$y$$\#$

• Se for deixado em , estará certo e: Então, para , obtemos que está no formato , onde, Assim .$v$$\#$$y$$|v| < |y|$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| > |x|$$uxz \notin L$

• Se for deixado em , estará certo e: Semelhante ao último caso.$v$$\#$$y$$|v| > |y|$

• Se for deixado em , estará certo e: Este é o caso mais interessante. Desde , deve estar contido na parte de , e na parte . Portanto, sustenta que e para o mesmo (de fato, deve ser esse ). Para cada , sustenta que , então se acontecer que$v$$\#$$y$$|v| = |y|$$|vxy| ≤ p$$v$$1^{p}$$s$$y$$0^{p}$$v = 1^{k}$$y = 0^{k}$$1 ≤ k ≤ p$$k < p/2$$j ≥ 0$$uv^{j+1}xy^{j+1}z = 0^{m}1^{p+j·k}\#0^{p+j·k}1^{m}$$m = p + j · k$, então sustenta que em contradição. Para conseguir isso, devemos tomar , que é válido apenas se é divisível por . Lembre-se de que escolhemos, entãoeé divisível por qualquer conforme desejado.$uv^{j+1}xy^{j+1}z \notin L$$j = (m-p)/k$$m − p$$k$$m = p + p!$$m − p = p!$$p!$$1 ≤ k ≤ p$

Sua prova está correta e eu estava errado. Demorei um pouco para descobrir onde estava minha confusão, mas com a ajuda de Yuval, acho que entendi.

Vamos considerar os três idiomas

$\qquad\begin{align*} &L_= &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ xy \mid |x| = |y|, x \neq y \}, \\ &L_{\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid x \neq y \},\ \text{and} \\ &L_{=\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid |x| = |y|, x \neq y \}. \end{align*}$

Como vimos aqui , é livre de contexto. O truque é, na gramática, gerar símbolos "à direita", mas contá-los "à esquerda" mais tarde (ou vice-versa), garantindo que símbolos incompatíveis apareçam nas posições correspondentes. A condição de comprimento é trivial, pois se reduz ao comprimento uniforme. Você pode construir um NPDA com uma idéia semelhante, usando a pilha para corresponder à posição.$L_=$

$L_\#$ também é livre de contexto . A prova é ainda mais simples: os símbolos de incompatibilidade aparecem à mesma distância do resp ou do início. o separador. Comprimentos desiguais podem ser verificados separadamente; o não determinismo "escolhe" entre as duas opções.

Agora, como você mostra, não é livre de contexto. Aqui está o porquê das provas para os outros dois idiomas serem quebradas.$L_{=\#}$

1. Na gramática de , se tivermos que gerar um separador no meio, não podemos "reatribuir" símbolos de "esquerda" para "direita".$L_=$
2. Em vez de "aceitar se comprimentos desiguais ou incompatíveis", temos que "aceitar se comprimentos iguais e incompatíveis". O não-determinismo não pode nos ajudar com o e !

Então, o que se resume, intuitivamente, é que as condições do formato " " e " " são "livres de contexto" no sentido de que podem ser verificadas com uma pilha, mas não usando controle finito. Portanto, um PDA pode fazer um, mas não ambos.| x | = | y $x \neq y$$|x| = |y|$

O PDA para "cheats", pois não verifica realmente essas condições para e ; divide a palavra de uma maneira diferente. Isso não é mais possível se você tiver o separador. x $L_=$$x$$y$

Adendo: Eu afirmei corajosamente que porque a CFL está fechada contra o homomorfismo inverso. Embora seja verdade que com a identidade, exceto ela exclui , isso não é relevante. ; nada pode ser dito sobre .$L_= \in \mathrm{CFL} \implies L_{=\#} \in \mathrm{CFL}$$f(L_{=\#}) = L_=$$f$$\#$$f^{-1}(L_=) = L_\#$$L_{=\#}$

Adendo II: Observe que é trivialmente livre de contexto. Portanto, com , temos um bom exemplo de CFL não sendo fechado contra interseção.$L = \{ x\#y \mid |x| = |y| \}$$L \cap L_\# = L_{=\#}$