Encontre

9

Deixe ser o idioma de todos os -cnf fórmulas , de tal modo que, pelo menos, $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ dascláusulasdepodem ser satisfeitas. $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

Preciso para demonstrar que existe r é -Hard para qualquer . $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

Sabemos que o pode ser aproximado a $\text{Max}2\text{Sat}$ das cláusulas de umaredução deComo devo resolver este? $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— Joni
fonte

8

Em seu famoso artigo, Hastad mostra que é NP-difíceis de MAX2SAT aproximado melhor do que . Isso provavelmente significa que é é NP-difícil distinguir ocorrências que são satisfatível e exemplos que são satisfatível, para alguns . Agora imagine acolchoar uma instância para que se torne um -fraction de uma nova instância, o resto do que é exatamente -satisfiable (dizem que consiste em grupos de cláusulas de forma $21/22$ $\leq \alpha$ $\geq (22/21) \alpha$ $\alpha \geq 1/2$ $p$ $1/2$ ) Os números agora tornar-se e . Este último número pode ser feita como perto de como nós queremos. $a \land \lnot a$ $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ $1/2$

— Yuval Filmus
fonte

Seu método funciona quando ε é um número real arbitrário (mas suficientemente pequeno)? Não consigo descobrir como escolher o número apropriado de cláusulas para usar no preenchimento, a menos que eu assuma algo sobre ε. (Observe que ε não faz parte da entrada e, portanto, é bem definido considerar o número real ε).

— Tsuyoshi Ito

É aí que a diferença entre

e

poderia ser útil. Supondo que

é racional, use

racional e você deve se sair bem.

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$

α

$\alpha$

p

$p$

— Yuval Filmus

Ah, de alguma forma, pensei que esse método não funcionou quando tentei primeiro, mas agora vejo como ele funciona. Obrigado!

— Tsuyoshi Ito

5

Se você sabe que ε é um número racional, não precisa de uma inadequação para Max-2-SAT para provar sua afirmação. Uma prova típica da dureza NP do Max-2-SAT (por exemplo, a do livro Complexidade computacional de Papadimitriou) na verdade prova a completude NP de L _1/5 . Para provar que o NP-dureza de L _ε para positivo racional números ε <1/5, podemos reduzir G _1/5 a G _ε como se segue: uma dada fórmula 2CNF φ (um exemplo para G _1/5 ), deixá- m ser o número de cláusulas nele. Vamos r es sejam inteiros positivos, de modo que (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s seja válido. Em seguida, construa uma fórmula 2CNF (uma instância para L _ε ) repetindo φ por r vezes e adicionando s pares de cláusulas contraditórias. Um cálculo simples mostra que essa é realmente uma redução de L _1/5 para L _ε .

Essa redução claramente funciona apenas se ε for racional, porque de outra forma r e s não podem ser tomados como números inteiros. O caso geral em que ε não é necessariamente racional parece exigir inadequação, como Yuval Filmus escreveu em sua resposta.

— Tsuyoshi Ito
fonte