Dureza NP de encontrar um subconjunto de vértices em um gráfico ponderado por vértices

Essa é uma tarefa do concurso alemão de TI ("Bundeswettbewerb Informatik"), mas como o prazo já passou, fazer esta pergunta não é trapaça.

Dado um gráfico direcionado ponderado por vértice e valores , encontre um subconjunto de nós que maximize sujeito a Esse problema é difícil para o NP? $G=(V, E)$ $c_v$ $V_{res}\subseteq V$

\sum_{v \in V_{r e s}} c_{v}

$\sum_{v \in V_{res}} c_v$

\forall (u, v) \in E : u \in V_{r e s} ⟹ v \in V_{r e s}

$\forall (u,v) \in E: u \in V_{res} \implies v \in V_{res}$

Eu poderia provar que o problema está em P se cada nó não tiver pais ou filhos, mostrando que, neste caso, ele pode ser resolvido pela Vertex Cover em gráficos bipartidos, mas não consegui encontrar uma redução que comprove a dureza NP do problema original.

Alguém pode me dar uma dica de como fazer isso?

PS: No concurso, a tarefa era apenas encontrar um algoritmo que resolvesse esse problema, a definição original (alemã) é a tarefa 1 deste documento: http://www.bundeswettbewerb-informatik.de/fileadmin/templates/bwinf/ aufgaben / bwinf35 / aufgaben352.pdf

complexity-theory reductions np-hard

— Feanor
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Sem perda de generalidade, você pode se concentrar no caso de um dag (gráfico acíclico direcionado). Em um gráfico direcionado geral, decomponha-se em componentes fortemente conectados; então você pega todos os nós em um componente ou nenhum deles; para que você possa formar o meta-gráfico (com um vértice por componente) e resolver o problema no meta-gráfico.

— DW

@ DW, suponho que você pretenda classificar topicamente o DAG, mas não está claro para mim como será exatamente o seu próximo passo? Para cada vértice no meta-gráfico somar o peso de todos os seus falecidos?

— Eric_

@ Eric_, infelizmente, não tenho um próximo passo em mente. Estou apenas dizendo que, se você puder encontrar um algoritmo para resolver isso para um DAG arbitrário, poderá usá-lo para resolvê-lo para um gráfico direcionado arbitrário. Talvez isso dê a alguém algumas idéias de como abordar o problema - ou talvez não. Eu não sei como resolver isso sozinho, receio.

— DW

O problema é solucionável em tempo polinomial, sugerido no Lema 1 do artigo Complexidade Computacional de Alguns Problemas de Peso Médio Máximo com Restrições de Precedência .

Basicamente, a idéia é escrever um programa linear em variáveis , onde se . A matriz de adjacência assinada é totalmente unimodular, para que possamos calcular a integral ideal. $x_i\in[0,1]$ $x_u-x_v\leq 0$ $(u,v)\in E$

— Willard Zhan
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