Dois elementos estão sempre em uma relação dentro de um conjunto parcialmente ordenado?

Em um conjunto parcialmente ordenado, sempre posso ordenar dois elementos arbitrários fora do conjunto? Ou é possível que dois elementos dentro do conjunto não tenham relação de ordem entre si?

Por exemplo, se houver três elementos $\{a, b, c\}$e e , ou têm que aguentar?$a \leq b$$a \leq c$$b \leq c$$c \leq b$

Eu preciso disso para entender a teoria do ponto fixo para semântica de linguagens de programação (denotação de while loops).

Em um conjunto parcialmente ordenado , pode haver membros que não são comparáveis. Uma ordem parcial em que todos os elementos são comparáveis ​​é chamada de ordem total .

Nós dizemos $a$ e $b$ são comparáveis ​​quando pelo menos um dos seguintes itens se mantém:

• $a\leq b$,
• $b \leq a$.

Em um conjunto parcialmente ordenado (poset para abreviação), você pode ter$a \le b$ e $a \le c$ sem $b$ e $c$ comparável (isto é, nem $b \le c$ nem $c \le b$detém). É isso que o torna um pedido parcial e não um pedido total . Os matemáticos geralmente significam uma ordem total quando dizem "ordem", porque o exemplo principal de um conjunto ordenado são os números reais (ou subconjuntos, como os inteiros naturais); os cientistas da computação usam ordens mais parciais em um nível elementar; portanto, no CS, assumem parcial, a menos que seja dito o total.

Um exemplo típico de poset é a inclusão de conjunto: $\{x\} \subset \{x,y\}$ e $\{x\} \subset \{x,z\}$, mas nenhum dos $\{x,y\}$ e $\{x,z\}$ é um subconjunto do outro.

Posets geralmente surgem na semântica denotacional para representar uma quantidade de conhecimento sobre um programa.$a \le b$ significa que $b$ é uma melhor aproximação do comportamento do programa do que $a$. Por exemplo, se$a$ é "o programa é uma função dos números inteiros que termina para todas as entradas", $b$ é “o programa calcula a função sucessora” e $c$ é "o programa calcula a função dupla", depois $a \le b$ e $a \le c$ mas $b$ e $c$ não são comparáveis.