Prova de que TAUT é coNP completo (ou que um problema é coNP completo se seu complemento for NP completo)

Preciso provar que o TAUT é coNP-completo. Eu mostrei esse reduzindo para . No entanto, não consigo descobrir como provar que todos os problemas no coNP podem ser reduzidos para em tempo polinomial. Para fazer isso, eu precisaria de uma de duas coisas:$\text{TAUT} \in \text{coNP}$$\text{SAT}$$\overline{\text{TAUT}}$$\text{TAUT}$

1. Um problema coNP-completo conhecido para redução ou
2. uma prova de que um problema é coNP-completo se seu complemento é NP-completo.

Nenhuma delas foi dada a nós na palestra; portanto, não posso usar nada sem provar isso pessoalmente. Perdi alguma coisa que deveria ter sido óbvia? Por onde devo começar?

Suponho que chamamos $TAUT$ o problema de fornecer uma fórmula DNF, decida se é uma tautologia (se você não deseja restringir a DNF, isso ainda funcionará, pois isso só torna o problema mais geral).

A resposta de suas perguntas segue facilmente da definição de $coNP$. Lembre-se que um idioma$L \subseteq \{0,1\}^*$ é em $coNP$ é $\bar{L} = \{x \in \{0,1\}^* \mid x \notin L\} \in NP$. Por exemplo,$\overline{TAUT}$é o conjunto de DNF que não é uma tautologia. Para provar que um DNF não é uma tautologia, você só precisa encontrar uma atribuição que não atenda à sua fórmula, o que pode ser feito em tempo polinomial com um NTM (apenas "força bruta" nas atribuições). Portanto, está em$NP$. Em outras palavras,$\overline{TAUT} \in NP$ portanto $TAUT \in coNP$.

Agora dê uma $NP$idioma incompleto $L$. Por definição,$\bar{L} \in coNP$. Mostramos que$\bar{L}$ é $coNP$completo, ou seja, para todos os idiomas $A \in coNP$, $A \leq \bar{L}$. Deixei$A \in coNP$. Então$\bar{A}$ é em $NP$. De$NP$-completude de $L$, existe uma função $f$, computável em tempo polinomial tal que $x \in \bar{A}$ iff $f(x) \in L$. Isso é equivalente a dizer que$x \notin \bar{A}$ iff $f(x) \notin L$. Que por sua vez, é equivalente a$x \in A$ iff $f(x) \in \bar{L}$. Portanto,$f$ é também uma redução de $A$ para $\bar{L}$, significa que $A \leq \bar{L}$. Em outras palavras,$\bar{L}$ é $coNP$-completo.

Agora, se você quiser mostrar que $TAUT$ é $coNP$completo, você só precisa mostrar que $\overline{TAUT}$ é $NP$-completo. E não é difícil ver isso$SAT \leq \overline{TAUT}$. De fato, uma CNF$F$ é satisfatório se $\neg F$, que é um DNF, não é uma tautologia.