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É possível que e a cardinalidade de P sejam iguais à cardinalidade de N P ? Ou P ≠ N P significa que P e N P devem ter cardinalidades diferentes?$\mathsf{P} \not = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \not = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Sabe-se que P NP ⊂ R, onde R é o conjunto de idiomas recursivos. Como R é contável e P é infinito (por exemplo, os idiomas { n } para n ∈ N estão em P), obtemos que P e NP são ambos contáveis.$\subseteq$$\subset$$\{n\}$$n \in \mathbb{N}$

Se você está preocupado com o tamanho de dois conjuntos P e NP, o tamanho desses dois conjuntos é infinito e igual.

Se esses dois conjuntos forem iguais, seu tamanho também será igual. Se eles não são iguais, uma vez que são contáveis, sua cardinalidade é igual à cardinalidade de números naturais e igual.

Portanto, em ambos os casos, sua cardinalidade é igual.

Trabalho principalmente em matemática e tenho apenas um pouco de familiaridade com esse tipo de problema. Entretanto, a teoria dos conjuntos é uma das minhas áreas de estudo favoritas, e essa parece ser uma questão da teoria dos conjuntos.

Então, para começar, P e NP são contados infinitamente, como outros já apontaram antes. Portanto, não faz sentido discutir mais a cardinalidade de P e NP.

No entanto, em geral:

$A=\{1,2,3\}$$B=\{4,5,6\}$$A\neq B$$|A|=|B|$$C=\{1,2,3\}$$D=\{4,5\}$$C\neq D$$|C|\neq|D|$

$A=B$$|A|=|B|$$A=\{1,2,3\}$$B=\{1,2,3\}$$A=B$$|A|=|B|$

Se dois conjuntos são infinitamente contáveis, eles compartilham a mesma cardinalidade. P e NP são ambos infinitamente contáveis, de modo que resume bastante isso.