Como entender a redução do problema de 3 cores para geral

O problema da 3-Coloração pode ser comprovado pelo NP-Complete, utilizando a redução do 3SAT Graph Coloring (da 3SAT) . Como consequência, o problema 4-Coloring é NP-Complete usando a redução de 3-Coloring:

Redução da instância de 3 cores: adicionando um vértice extra ao gráfico do problema de 3 cores e tornando-o adjacente a todos os vértices originais.

Seguindo o mesmo raciocínio, 5 cores, 6 cores e até mesmo geral $k$- O problema de cores pode ser comprovado facilmente com NP-Complete. No entanto, meu problema surge com a indução matemática subjacente:

Meu problema: e se a indução continuar $n-1$-Coloração e $n$-Problema de cores, onde $n$é o número de vértices no gráfico? Eu certamente sei que$n$- O problema da coloração pode ser resolvido trivialmente. Então, há algo errado com o raciocínio? Como entender a redução do problema de 3 cores para o geral$k$-Colorindo um?

o $k$O problema de cores é geralmente definido apenas para constantes $k$, tão $n$-colorir não faz sentido. Para cada constante$k \geq 3$, a redução mencionada funciona. Ao adicionar um número superconstante de vértices, é possível mostrar, por exemplo, que$(n/2+3)$-coloring é NP-complete.

Sua aparente contradição vem do abuso da notação "$n$": seu significado muda à medida que você percorre a pergunta.

Quando você diz isso $n$-coloring é trivial, o que você quer dizer é que é trivial colorir qualquer gráfico $G$ com $|V(G)|$cores. Mas o$n$problema de cor para qualquer constante $n$ é o problema de determinar se um gráfico de entrada arbitrário, com qualquer número de vértices, possui um $n$-coloração.

A cadeia de reduções de $3$-colourability to $n$-colourability adiciona $n-3$vértices para o gráfico. Isso significa que a única maneira de você terminar com uma instância trivial do$n$problema de cor é se a sua entrada original para o $3$problema de cor teve $3$ ou menos vértices - essa instância já era trivialmente $3$-colourable.

A propósito, não há necessidade de usar indução para provar que $k$-colourability é NP- complete para cada $k\geq 3$porque é fácil compor a sequência de reduções que apareceria na indução. Um gráfico $G$ é $3$-colourable se, e somente se, o gráfico $G'$ é $k$-colourable, onde $G'$ é a união disjunta de $G$ e uma cópia de $K_{k-3}$, além de todas as arestas possíveis entre as duas partes.

o $k$O problema da coloração é colorir qualquer gráfico. Você certamente pode encontrar gráficos para os quais$k$A coloração é trivial, assim como as fórmulas para as quais o SAT é trivial ou etc. Isso não afeta a complexidade dos problemas em geral.