Por que fazemos isomorfismo, automorfismo e homomorfismo?

Quais são as principais diferenças entre esses três termos isomorfismo, automorfismo e homomorfismo na linguagem simples dos leigos e por que fazemos isomorfismo, automorfismo e homomorfismo?

O isomorfismo formaliza a noção de gráficos iguais . Por exemplo, nesta figura, você vê três gráficos isomórficos

Mais formalmente, um isomorfismo dos gráficos e G 2 é uma bijeção f : V ( G 1 ) ↦ V ( G 2 ) que preserva a adjacência. Ou seja:$G_1$$G_2$$f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

Não é difícil encontrar essa bijeção para cada par de gráficos na imagem.

Agora, se , o mapeamento obtido se torna um automorfismo - um isomorfismo do gráfico para si mesmo.$G_1 = G_2$

Você pode perguntar qual é a noção intuitiva de automorfismo de gráfico e a resposta é que ela fornece algum tipo de informação de quais vértices são "equivalentes" em um gráfico. Em outras palavras, se houver um automorfismo de do gráfico G, de modo que o vértice v seja mapeado para o vértice$f$$G$$v$ então, de certa forma, a vizinhança de u e v "parece" a mesma.$u$$u$$v$

$G$$u,v \in V(G)$$f:V(G) \mapsto V(G)$$f(u) = v.$

e como você pode ver, os gráficos "parecem" bastante simétricos. Isso é precisamente porque possui "muitos" automorfismos do tipo descrito.

Os homomorfismos dos gráficos geralmente não são estudados por leigos e são mais ou menos propósitos teóricos. Por exemplo, eles estão intimamente relacionados à noção de corantes de vértices. Veja também Conjectura de Hadwiger

$h:G\rightarrow G'$$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$e=(u,v) \in E$$(h(u),h(v))\in E'$

Agora, um isomorfismo gráfico é um homomorfismo bijetivo, o que significa que é inverso também é um homomorfismo. Se dois gráficos são isomórficos, então são essencialmente o mesmo gráfico, apenas com uma nova rotulagem dos vértices. O problema de determinar se dois gráficos são isomorfos entre si é um problema importante na teoria da complexidade.

Finalmente, um automorfismo é isomorfismo de um gráfico para si mesmo.