Existe um exemplo simples de conjuntos como mas não ?

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Gostaria de saber se existe um exemplo simples de conjuntos e tal que é Turing-irredutível a , mas não muitos-para-um irredutível para . $A$ $B$ $A$ $B$ $B$

turing-machines reductions

— pintoch
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se

A \leq_{1} B \to A \leq_{m} B \to A \leq_{T} B

$A \leq_1 B \rightarrow A \leq_m B \rightarrow A \leq_T B$ mas a ordem inversa não é verdadeira. é por isso que a resposta é afirmativa

— M ama D

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Por exemplo, define $H = \{x \, |$ Máquina de Turing com índice $x$ pára na entrada $x\}$ e $\overline{H} = \{x \, |$ A máquina de Turing com índice $x$ não para na entrada $x\}$ .

Como se , então seria recursivamente enumerável e, portanto, seria recursivo, o que é contradição. $\overline{H} \leq_m H$ $\overline{H}$ $H$

Por outro lado, , porque existe uma máquina de Turing com o oracle reconhecendo . Esta máquina para entrada apenas verifica e nega a resposta. $\overline{H} \leq_T H$ $H$ $\overline{H}$ $x$ $x \in H$

— Martin Jonáš
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Por , você quer dizer o conjunto de todas as TMs que são interrompidas ou similares?

H

$H$

— Luke Mathieson

Sim, por quero dizer conjunto de todas as TMs que são interrompidas. Vou incluí-lo em resposta.

H

$H$

— Martin Jonáš

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A principal distinção (ou pelo menos uma importante) é que as reduções de Turing são baseadas em oráculos , enquanto muitas reduções exigem uma função computável total (ou seja, você precisa mapear todas as entradas para algo). Com isso em mente, podemos obter um exemplo bastante claro:

Considere o conjunto de máquinas de Turing que param com alguma entrada fixa (por razões de argumento, a entrada vazia é boa o suficiente) e o conjunto que não pára na mesma entrada fixa. Deve ficar claro que estes são equivalentes a Turing (se tivermos um oráculo para um, podemos usá-lo para responder ao outro - basta executar o oráculo na entrada e dar a resposta oposta).

Por outro lado, se tivéssemos uma função computável que convertesse máquinas que não param em máquinas que fazem e vice-versa, poderíamos decidir o problema da parada.

— Luke Mathieson
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A última frase me confunde.

— Andrej Bauer

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É verdade que o conjunto de interrupções e seu complemento são equivalentes a Turing. Mas a razão dada por não serem redutíveis em muitos é falsa. É perfeitamente possível ter uma redução de muitos entre conjuntos não computáveis (use qualquer conjunto não computável e o conjunto ). Você deve aceitar a resposta de Martin.

H

$H$

N ∖ H

$\mathbb{N} \setminus H$

S

$S$

{n + 1 ∣ n \in S}

$\lbrace n + 1 \mid n \in S\rbrace$

— Andrej Bauer

@AndrejBauer, muito bem, incrivelmente desleixado da minha parte. Vou corrigi-lo para a posteridade, mas concordo que a resposta de Martin é superior de qualquer maneira.

— Luke Mathieson

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Seja qualquer idioma não trivial como e seja o idioma vazio . $A$ $\{a\}$ $B$ $\emptyset$

$A$ é Turing redutível a , porque, dado um oráculo para a linguagem vazia, podemos determinar se uma cadeia de entrada é ou não. (Não precisamos nem usar o oráculo.) $B$ $a$

Mas não é muitos - um redutível a porque não há nada para mapear a entrada de para. $A$ $B$ $a$

— usul
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