Por que o log no big-O da pesquisa binária não é base 2?

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Eu sou novo em entender algoritmos de ciência da computação. Entendo o processo da pesquisa binária, mas estou tendo um pequeno mal-entendido com sua eficiência.

Em um tamanho de elementos, seriam necessários, em média, etapas para encontrar um elemento específico. Tomando o logaritmo da base 2 de ambos os lados, produz . Portanto, o número médio de etapas do algoritmo de pesquisa binária não seria ? $s = 2^n$ $n$ $\log_2(s) = n$ $\log_2(s)$

Este artigo da Wikipedia sobre o algoritmo de busca binária diz que o desempenho médio é . Porque isto é assim? Por que esse número não é ? $O(\log n)$ $\log_2(n)$

algorithms runtime-analysis binary-search

— DrPepper
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Duplicar no SO - A base de log Big O (logn) e?

— Dukeling 19/07/19

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Quando você altera a base do logaritmo, a expressão resultante difere apenas por um fator constante que, por definição da notação Big-O , implica que ambas as funções pertencem à mesma classe em relação ao seu comportamento assintótico.

Por exemplo que .

\log_{10} n = \frac{\log_{2} n}{\log_{2} 10} = C \log_{2} n

$\log_{10}n = \frac{\log_{2}n}{\log_{2}10} = C \log_{2}{n}$

C = \frac{1}{\log_{2} 10}

$C = \frac{1}{\log_{2}10}$

Então e difere por uma constante , e, portanto, ambos são verdadeiras: de um modo geral é para inteiros positivos e maior do que 1. $\log_{10}n$ $\log_{2}n$ $C$

\log_{10} n is O (\log_{2} n)

$\log_{10}n \text{ is } O(\log_{2}n)$

\log_{2} n is O (\log_{10} n)

$\log_{2}n \text{ is } O(\log_{10}n)$

\log_{a} n

$\log_{a}{n}$

O (\log_{b} n)

$O(\log_{b}{n})$

a

$a$

b

$b$

Outro fato interessante com funções logarítmicas é que, enquanto a constante , NÃO é , mas é desde que que difere de apenas pelo fator constante . $k>1$ $n^k$ $O(n)$ $\log{n^k}$ $O(\log{n})$ $\log{n^k} = k\log{n}$ $\log{n}$ $k$

— fade2black
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Não apenas para números inteiros positivos: para todos os reais

, por exemplo,

.

a, b > 1

$a,b > 1$

e

$e$

— Nbubis 20/07

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Eu acrescentaria que essa é a razão pela qual, com a notação big-O, a base do logaritmo geralmente não é especificada. Isso também significa que não há confusão sobre qual base

usa: pode ser uma das mais usadas com base, pois não faz diferença.

O (\log n)

$O(\log n)$

— svick

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$\log(n)$ $e$ $\log$

Mas, como já foi demonstrado, neste caso, não acaba importando.

— MattPutnam
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Provavelmente vale a pena notar ainda que, embora "log (n)" possa ser ambíguo, o fato de "O (log (n))" não ocorrer porque o último tem apenas um significado, não importa em que base você esteja pensando.

— Chris