Algoritmos de computação se um número for múltiplo de 3

Ao fazer cálculo mental, pode-se fazer:

• Dado um número inteiro k, some todos os dígitos (na base 10) e, se o resultado for múltiplo de 3, k será múltiplo de 3.

Você conhece algum algoritmo funcionando de maneira semelhante, mas operando com dígitos de números binários (bits)?

• No começo, eu estava pensando em usar as funções prontas da minha linguagem convertendo número inteiro para ascii para realizar a conversão da base 2 para a base 10 e depois aplicar o truque de cálculo mental. Mas é claro que eu também poderia codificar a conversão de base 2 para 10. Ainda não o fiz, mas vou tentar.

• Então eu pensei na divisão euclidiana na base 2 ...

No entanto, gostaria de saber se existem outros meios, algoritmos.

Considere as duas observações a seguir (deixadas como um exercício para o leitor):

1. Os poderes pares de dois são 1 módulo 3.
2. Os poderes ímpares de dois são -1 módulo 3.

Concluímos que um número (em binário) é divisível por três se e somente se a soma dos bits nas posições pares for igual à soma dos bits nas posições ímpares módulo 3.

Que tal um autômato de estado finito para o trabalho?

É claro que a mágica é apenas o módulo de computação 3. A adição do símbolo a string por trás x significa que o "valor binário" da string vai de v a l ( x ) para x a 2 ⋅ v a l ( x ) + a para x a . Consequentemente, do estado pe símbolo a passamos para o estado 2 p + a mod 3 , para p ∈ { 0 , 1 , $a$$x$$val(x)$$x$$2\cdot val(x)+a$$xa$$p$$a$$2p+a \bmod 3$ e um ∈ { 0 , 1 } . Nota x ∈ { 0 , 1 } ∗ é uma string, sendo que v a l ( x ) ∈ N é seu valor como string binária.$p\in \{0,1,2\}$$a\in \{0,1\}$$x\in \{0,1\}^*$$val(x)\in \Bbb{N}$

Em binário, os números 1, 100, 10000 (= 100 × 100), 1000000 (= 100 × 100 × 100) etc. todos fornecem o mesmo restante após a divisão por 11 (três). Portanto, se dividirmos um número binário em partes de comprimento par , a soma das partes fornecerá o mesmo restante que o número original.

(Ao dividir o número, adicionamos quantos zeros forem necessários ao início . Por exemplo, dividiríamos 10111 nos grupos 01,01,11 ou 0001,0111.)

Matematicamente, apenas divida o número em grupos de dois dígitos e adicione os grupos; e repita isso até que o resultado se torne 00 ou 11 = o número original era um múltiplo de três; ou 01 ou 10 = o número original não era um múltiplo de três.

Para um programa de computador, o uso de grupos de oito, dezesseis ou trinta e dois bits pode ser mais rápido para sua CPU. Por exemplo, se a adição de oito bits for mais rápida, faça uma soma de todos os bytes e, novamente, até que o resultado caiba em um byte. Em seguida, use uma instrução para determinar o restante depois de dividir por três.

(Observação: estamos assumindo números inteiros não assinados aqui. Com um número assinado, ele precisa de um pouco mais de atenção. Por exemplo, 129 é um múltiplo de 3, mas -127 não, embora os bits 10000001 signifiquem ex como um byte não assinado e este último como um byte assinado.)

Embora não seja específico do binário, na dúvida, a subtração repetida é sempre uma maneira infalível de calcular a divisão com o restante (e, portanto, se um número for múltiplo de 3).