Função potencial extrato de pilha binária max O (1)

Preciso de ajuda para calcular a função potencial de um heap máximo, para que o extrair max seja concluído em tempo amortizado. Devo acrescentar que não tenho uma boa compreensão do método potencial. $O(1)$

Eu sei que a função de inserção deve "pagar" mais para reduzir o custo da extração, e isso deve ser em relação à altura da pilha (se fornece a altura do heap deve a inserção ser ou ) $\lfloor \log(n) \rfloor$ $2\log(n)$ $\sum_{k=1}^n 2\log(k)$

— andrei
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Tente o seguinte:

O peso de um elemento na pilha é sua profundidade na árvore binária correspondente. Portanto, o elemento na raiz tem peso zero, seus dois filhos têm peso 1 e assim por diante. Você define como função potencial $w_i$ $i$ $H$

Φ (H) = \sum_{i \in H} 2 w_{i} .

$\Phi(H)=\sum_{i\in H}2 w_i.$

Vamos agora analisar as operações de heap. Para inserir, adicione um novo elemento e adicione profundidade no máximo . Isso aumenta o potencial em e pode ser feito no tempo . Em seguida, você "borbulha" o novo elemento de heap para garantir a propriedade de heap. Isso leva tempo e deixa inalterado. Assim, os custos de inserção são . $d$ $\log(n)$ $2d$ $O(1)$ $O(\log n)$ $\Phi(H)$ $O(\log(n)+\Delta(\Phi(H)))=O(\log n)$

Agora considere o extractMin . Você remove a raiz e a substitui pelo último elemento na pilha. Isso diminui o potencial em , portanto, você pode se dar ao luxo de reparar a propriedade heap e, portanto, os custos amortizados agora são . $2\log(n)$ $O(1)$

Se você tiver uma pergunta geral para a função em potencial, coloque isso como uma pergunta diferente.

— A.Schulz
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Tenho certeza de que você está correto, mas não entendi a inserção. Por que inalterado? Desculpe se a resposta é óbvia, mas você poderia expandir ? Eu não posso ver porque você teria um número negativo lá

Δ (Φ (H)))

$\Delta(\Phi(H)))$

Δ

$\Delta$

— andrei

Δ (Φ (H))

$\Delta(\Phi(H))$ refers to the potential difference - before and after the insert. It is in the insert case at most

2 \log (n)

$2\log(n)$ . When you exchange two elements in the heap (bubble-up or bubble-down), then one weight gets +1, and the other gets -1 change, thus the potential (the sum of all weights) remains the same.

— A.Schulz

How is repair O(1)? What is the use of the potential function in repairing the heap? Could you please clarify

— Sohaib

@Sohaib: repair takes

O (\log n)

$O(\log n)$ time, but

O (1)

$O(1)$ amortized time using the above potential function. There is no other use of the potential function than analyzing the amortized costs.

— A.Schulz

@A.Schulz So this in essence means that given that the extract operation is done n number of times since each time the potential function would decrease by 2logn (may or may not increase equally upon repair). The overall complexity for such a thing would be constant time since eventually there would be no node in the tree. Am I right?

— Sohaib