O problema do "produto de subconjunto" está NP-completo?

O problema da soma de subconjuntos é um problema NP-completo clássico:

Dada uma lista de números e um destino , existe um subconjunto de números de que soma ? $L$ $k$ $L$ $k$

Um aluno me perguntou se essa variante do problema chamada de "produto de subconjunto" está NP-completa:

Dada uma lista de números e um destino , existe um subconjunto de números de cujo produto é ? $L$ $k$ $L$ $k$

Pesquisei e não encontrei nenhum recurso que falasse sobre esse problema, embora talvez tenha sentido falta deles.

O problema do subconjunto do produto está NP-completo?

complexity-theory np-complete reductions

— templatetypedef
fonte

Respostas interessantes, mas estou me perguntando: não podemos reduzir a soma de subconjuntos apenas registrando k e todos os números? (Talvez eu devesse fazer uma pergunta separada?)

— j_random_hacker

@j_random_hacker, sim, se você não encontrar uma resposta depois de pesquisar neste site e on-line, sugiro que você publique uma pergunta separada. É uma boa pergunta com uma boa resposta (dica: pegar logs deixa você com algo que não é um número inteiro; na outra direção, pense no que a exponenciação faz com o tamanho dos números), mas é um pouco tangente e seria melhor em sua própria pergunta.

— DW

@ DW: Obrigado, quando tiver tempo, farei o que você sugere!

— j_random_hacker

Respostas:

Um comentário menciona uma redução de X3C para SUBSET PRODUCT atribuída a Yao. Dado o objetivo da redução, não era difícil adivinhar qual seria a provável redução.

Definições:

COBERTURA EXATA POR 3 CONJUNTOS (X3C)

Dado um conjunto finito comum múltiplo de 3 e uma coleção de subconjuntos de 3 elementos de , contém uma capa exata para , onde e todos os elementos em ocorrem exatamente uma vez em ? $X$ $|X|$ $C$ $X$ $C$ $C'$ $X$ $C' \subseteq C$ $X$ $C'$

SUBSET PRODUTO

Dada uma lista de números e um destino , existe um subconjunto de números de cujo produto é ? $L$ $k$ $L$ $k$

Para reduzir uma instância X3C para uma instância SUBSET PRODUCT:

Estabeleça um mapeamento bijetivo entre os membros de e o primeiro números primos. Substitua os membros dos subconjuntos e pelos números primos mapeados. $X$ $|X|$ $X$ $C$
Para cada subconjunto em , multiplique seus membros; a lista de produtos resultante é para a instância SUBSET PRODUCT. Como os números primos são usados para o mapeamento na etapa 1, é garantido que os produtos sejam equivalentes se os subconjuntos forem equivalentes pelo teorema da fatoração exclusivo . $C$ $L$
Multiplique os membros de juntos; o produto resultante é o valor para a instância SUBSET PRODUCT. $X$ $k$

Os fatores primos de são exatamente os membros da . Os fatores primos dos números em correspondem exatamente aos membros dos subconjuntos Assim, qualquer solução para a nova instância SUBCONJUNTO produto pode ser transformado numa solução X3C mapeando os membros de solução de volta para os subconjuntos em . $k$ $X$ $L$ $C$ $L$ $C$

Cada uma das 3 etapas de transformação envolve operações que são polinomiais ao tamanho da entrada ou o tamanho de um membro de . O primeiro os números primos podem ser gerados no tempo O ( ) usando a peneira de Eratóstenes e são garantidos que se encaixam no espaço pelo teorema do número primo . $|X|$ $X$ $|X|$ $|X|$ $O(|X|^2 \ln |X|)$

— Kyle Jones
fonte

+1, mas para que a redução seja aprovada, acho que exigimos que o primeiro | X | números primos podem ser representados em um número de bits que é polinomial em | X | - Estou certo sobre isso e, em caso afirmativo, temos essa garantia?

— Jrandom_hacker 26/06

Ponto excelente. Eu adicionei um parágrafo para resolver isso.

— Kyle Jones

Obrigado, esse teorema o cimenta! Não para nitpick, mas de acordo com a página à qual você vinculou, o k-ésimo número primo é aproximadamente k log k, e considerando que a Peneira de Eratóstenes aparentemente calcula todos os primos até n no tempo O (n log log n) , substituindo n = k log k parece fornecer um tempo de O (k * log (k) * log (log (k log k))), em vez de O (k) (seu O (| X |)), para calcular o primeiro k inicia dessa maneira.

— Jrandom_hacker

Kyle Jones, não é crítico que a etapa 3 crie um número

de tamanho exponencial? Essa redução é realmente do tempo polinomial?

k

$k$

— user1742364

@ user1742364 Não, porque a computação

não requer um número exponencial de operações ou exige o armazenamento de um número exponencial de bits. A computação

requer

multiplicações e multiplicação é, na pior das hipóteses, uma operação

. Enquanto

será exponencialmente maior que o maior

primo em

, o número de bits necessários para armazenar

será

k

$k$

k

$k$

| X |

$|X|$

O (n^{2})

$O(n^2)$

k

$k$

P

$P$

X

$X$

k

$k$

O (\log P)

$O(\log P)$

— Kyle Jones

De acordo com [ 1 ]: Sim, é

Também cito a mesma referência: Comentários: Há uma distinção técnica sutil entre este e o Problema 42: o primeiro caso possui um algoritmo pseudoeficiente obtido por permitir que números sejam representados em unários; a menos que todos os problemas de NP-completos possam ser resolvidos por algoritmos rápidos, o Subconjunto do Problema do Produto não pode ser resolvido por métodos `eficientes 'usando até mesmo essa representação de entrada irracional.

dê uma olhada em [2] para uma redução. [2]: Companheiros, Michael e Neal Koblitz. "Complexidade de parâmetros fixos e criptografia." Álgebra Aplicada, Algoritmos Algébricos e Códigos de Correção de Erros (1993): 121-131.

— AJed
fonte

Uma redução ou citação real em um artigo de jornal seria legal, se possível.

— templatetypedef

@templatetypedef Em Garey e Johnson, a redução é de 3 sets para a cobertura exata. Devido à comunicação privada com Yao.

— precisa saber é

A redução no papel de criptografia é para um problema diferente, no qual o produto alvo é substituído por congruência com um número alvo módulo a módulo fornecido na instância. (Embora se eu entendi a prova corretamente, eles só recebem dureza fraca de qualquer maneira porque o módulo é exponencial em magnitude.)

— Jeffrey Bosboom