Os conjuntos Antes e Depois das gramáticas sem contexto são sempre sem contexto?

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Seja uma gramática livre de contexto. Uma série de terminais e não terminais de é dito ser uma forma sentencial de se você pode obtê-lo através da aplicação de produções de zero ou mais vezes para o símbolo de início de . Vamos ser o conjunto de formas de sentenciais . $G$ $G$ $G$ $G$ $S$ $\operatorname{SF}(G)$ $G$

Seja e seja uma subcadeia de - chamamos um fragmento de . Agora deixe $\alpha \in \operatorname{SF}(G)$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\operatorname{SF}(G)$

$\operatorname{Before}(\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$

e

$\operatorname{After}(\beta) = \{ \delta \ |\ \exists \gamma . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$ .

Os idiomas e são livres de contexto? E se for inequívoco? Se for inequívoco, e também podem ser descritos por uma linguagem livre de contexto inequívoca? $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$ $G$ $G$ $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$

Este é um seguimento da minha pergunta anterior , após uma tentativa anterior de facilitar a resposta da minha pergunta. Uma resposta negativa tornará difícil a pergunta abrangente sobre a qual estou trabalhando.

— Alex ten Brink
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Vamos ter uma ideia do e primeiro. Considere uma árvore de derivação que contém ; "contém" aqui significa que você pode cortar subárvores para que seja uma subpalavra da frente da árvore. Então, o conjunto anterior (depois) são todas as frentes potenciais da parte da árvore à esquerda (direita) de : $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

árvore com conjuntos antes e depois
^{[ fonte ]}

Portanto, temos que construir uma gramática para a parte alinhada horizontalmente (alinhada verticalmente) da árvore. Isso parece fácil, pois já temos uma gramática para toda a árvore; só precisamos garantir que todas as formas sentenciais sejam palavras (alterar os alfabetos), filtrar as que não contêm (que é uma propriedade regular, pois é fixo) e cortar tudo depois de (antes) , incluindo . Este corte também deve ser possível. $\beta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Agora para uma prova formal. Vamos transformar a gramática como propriedades descritas e de fecho uso de para fazer a filtragem e de corte, ou seja, nós realizar uma prova não-construtiva. $\mathrm{CFL}$

Seja uma gramática livre de contexto. É fácil ver que é livre de contexto; construa assim: $G = (N, T, \delta, S)$ $\operatorname{SF}(G)$ $G'=(N',T',\delta',N_S)$

$N' = \{N_A \mid A \in N\}$
$T' = N \cup T$
$\delta' = \{\alpha(A) \to \alpha(\beta)\mid A\to\beta \in \delta \} \cup \{N_A \to A \mid A\in N\}$

com para todos e para todos . É claro que ; portanto, o fechamento do prefixo correspondente e o sufixo são livres de contexto¹. $\alpha(t)=t$ $t \in T$ $\alpha(A)=N_A$ $a\in N$ $\mathcal{L}(G')=\operatorname{SF}(G)$ $\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))$ $\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))$

Agora, para qualquer são e linguagens regulares. Como é fechada sob cruzamento e direita / esquerda quociente com linguagens regulares, obtemos $\beta \in (N\cup T)^*$ $\mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*)$ $\mathcal{L}((N\cup T)^*\beta)$ $\mathrm{CFL}$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Before}(\beta) = (\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}((N\cup T)^*\beta))\,/\,\beta \in \mathrm{CFL}$

e

. $\qquad \displaystyle \operatorname{After}(\beta) = (\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*))\,\backslash\, \beta \in \mathrm{CFL}$

¹ é fechado sob o quociente direito (e esquerdo) ; e semelhante para resp rendimento prefixo. fechamento de sufixo. $\mathrm{CFL}$ $\operatorname{Pref}(L) = L / \Sigma^*$ $\operatorname{Suff}$

— Rafael
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Comecei a escrever uma resposta e percebi que minha prova era a mesma que a sua. Eu teria que colocar desta forma (comprimido para caber aqui): formar uma gramática

pela adição de um novo terminal de

(a metavariable) para cada não-terminal

e uma produção

. Então, formas sentenciais de

são as palavras reconhecidas por

que consistem em metavariáveis. Esta é a interseção de um CFG com um idioma regular e, portanto, é regular. O conjunto de prefixos de um CFG é um CFG (pegue um PDA e torne todos os estados finais).

G^{'}

$G'$

\hat{A}

$\hat A$

A

$A$

A \to \hat{A}

$A\to\hat A$

G

$G$

G

$G$

é de novo uma GLC.

B e f o r e (γ) = {γ ∣ γ β \in L (P r e f i x (\hat{G}))}

$\mathrm{Before}(\gamma) = \{\gamma \mid \gamma\beta\in L(\mathrm{Prefix}(\hat G))\}$

— Gilles 'SO- stop being evil'

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@Gilles, três comentários sobre isso: 1) os formulários sentenciais normalmente (adequadamente) contêm o idioma. 2) "tornar todos os estados finais" - isso não funcionará; você também aceitará prefixos de não-palavras. 3) O último passo para "cortar" um sufixo parece difícil de ser rigoroso. : / Você tem uma prova rigorosa mas mais compacta que a minha?

— Raphael

1) não importa (mude

para ter ou não um terminal para cada terminal). 2) Opa, eu cortei demais: torne todos os estados que podem chegar a um estado final final. 3) Faça um terminal

por vez; no PDA, marque os estados dos quais se pode alcançar um estado final consumindo

como final. Sim, seria preciso mais expansão para tornar isso rigoroso.

G

$G$

b

$b$

b

$b$

— Gilles 'SO- stop being evil'

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Sim, e são linguagens livres de contexto. Aqui está como eu provaria isso. Primeiro, um lema (que é o ponto crucial). Se é CF, então: $\mbox{Before}(\beta)$ $\mbox{After}(\beta)$ $L$

$\mbox{Before}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in L \}$

e

$\mbox{After}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \delta \beta \gamma \in L \}$

são CF.

Prova? Para construa um transdutor de estado finito não determinístico que varre uma string, emitindo todos os símbolos de entrada que vê e simultaneamente procura não deterministicamente . Sempre que vê o primeiro símbolo de , bifurca-se de forma não determinística e cessa de emitir símbolos até terminar de ver ou vê um símbolo que se desvia de , parando em ambos os casos. Se vê $\mbox{Before}(L,\beta)$ $T_{\beta}$ $\beta$ $T_{\beta}$ $\beta$ $\beta$ $\beta$ $T_{\beta}$ $\beta$ na íntegra, aceita ao parar, que é a única maneira que aceita. Se vir um desvio de , rejeitará. $\beta$

O lema pode ser acionado para lidar com casos em que pode se sobrepor (como - continue procurando por mesmo durante a verificação de anterior ) ou apareça várias vezes (na verdade, o original não determinístico) bifurcação já lida com isso). $\beta$ $abab$ $\beta$ $\beta$

É bastante claro que , e como as CFLs são fechadas sob transdução em estado finito, é, portanto, CF. $T_\beta(L) = \mbox{Before}(L,\beta)$ $\mbox{Before}(L,\beta)$

Um argumento semelhante vale para , ou pode ser feito com reversões de string de , CFLs também sendo fechadas sob reversão: $\mbox{After}(L,\beta)$ $\mbox{Before}(L,\beta)$

$\mbox{After}(L,\beta) = \mbox{rev}(\mbox{Before}(\mbox{rev}(L),\mbox{rev}(\beta)))$

Na verdade, agora que vejo o argumento de reversão, seria ainda mais fácil começar com , já que o transdutor para isso é mais simples de descrever e verificar - ele gera a string vazia enquanto procura por um . Quando encontra , bifurca-se de forma não determinística, uma bifurcação continua a procurar cópias adicionais de , a outra bifurcação copia todos os caracteres subseqüentes literalmente da entrada para a saída, aceitando o tempo todo. $\mbox{After}(L,\beta)$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

O que resta é fazer isso funcionar tanto para formulários sentenciais quanto para CFLs. Mas isso é bem direto, uma vez que a linguagem das formas sentenciais de um CFG é ela própria uma CFL. Você pode mostrar isso substituindo todos os não terminais em todo , digamos , declarando como um terminal e adicionando todas as produções à gramática. $X$ $G$ $X^\prime$ $X$ $X^\prime \rightarrow X$

Vou ter que pensar na sua pergunta sobre a ambiguidade.

— David Lewis
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