Encontre um violador de Hall de cardinalidade mínima

Dado um gráfico bipartido $(X,Y，E)$ , em que não há uma correspondência perfeita, quero encontrar um menor subconjunto que viole a condição de Hall, ou seja, um conjunto de cardinalidade mínima $S \subseteq X$ para qual $|N(S)|<|S|$ .

Esse problema é a versão de otimização de uma pergunta anterior. Encontrar um subconjunto no gráfico bipartido que viola a condição de Hall , da qual eu sei que existe um algoritmo de tempo polinomial para encontrar tais $S \subseteq X$ . Existe um algoritmo polinomial para o problema de otimização?

np-hard matching bipartite-matching

— Y.Zhang
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Também é interessante encontrar um violador de Hall com cardinalidade máxima .

— Erel Segal-Halevi

Também é interessante encontrar um dos violadores de Hall mais violadores, ou seja,

S \subseteq X

$S \subseteq X$ para qual

| S | - | N (S) |

$|S|-|N(S)|$ leva o valor máximo.

— John L.

Pode ser o mais interessante encontrar um conjunto de arestas com a menor cardinalidade ou apenas a menos cardinalidade, de modo que, uma vez adicionadas essas arestas, seja possível uma correspondência perfeita.

— John L.

Esta não é uma resposta - apenas uma nota longa.

A questão está relacionada ao problema da cobertura mínima de vértices com sobreposição mínima de um lado . Suponha que tenhamos uma cobertura mínima de vértices $C$ de tamanho $m$ . Pelo teorema de Konig, $m$ também é igual ao tamanho da correspondência máxima, então $m < n$ .

Desde a $C$ é uma cobertura de vértice, qualquer vértice que não esteja $C$ deve ter todos os seus vizinhos em $C$ . assim $N(X\setminus C)\subseteq Y\cap C$ . Conseqüentemente:

\begin{aligned} | N (X ∖ C) | & \leq | Y \cap C | \\ = m - | X \cap C | \\ = m - n + | X ∖ C | \\ < | X ∖ C | \end{aligned}

$\begin{align} |N(X\setminus C)| &\leq |Y\cap C| \\ &= m-|X\cap C| \\ &= m-n+|X\setminus C| \\ &< |X\setminus C| \end{align}$ tão

X ∖ C

$X\setminus C$ é um violador de salão. Agora se

X \cap C

$X\cap C$ é grande, então

X ∖ C

$X\setminus C$ é pequeno.

No entanto, não tenho certeza de que encontrar um $C$ o que maximiza $X\cap C$ também produz o menor violador de Hall.

— Erel Segal-Halevi
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tl; dr : Encontrei uma lacuna fatal nessa prova que não consegui fechar. Deixarei essa resposta no caso de: a) descobrir como corrigi-lo; b) inspirar alguém a descobrir como corrigi-lo.

Deixei $G = (X \cup Y, E)$ seja um gráfico bipartido sem uma correspondência perfeita. Diremos que um subconjunto $S$ é deficiente se $|N(S)| \lt |S|$ . Estamos procurando um subconjunto mínimo e deficiente de $X$ . A abordagem geral será identificar mínimo potencial, conjuntos deficientes caracterizando (e encontrar) todos os mini mal , conjuntos deficientes, ou seja: conjuntos deficientes $S\subset X$ que não contém subconjuntos deficientes. Vamos fazer algumas observações sobre as propriedades desses conjuntos mínimos e deficientes.

Observação 1 : Um subconjunto $S$ é um subconjunto deficiente mínimo de $X$ iff para todos $s \in S$ , o conjunto $S\setminus \{s\}$ tem uma combinação perfeita em $G$ . Este é apenas o Teorema de Hall.

Observação 2 : se $S$ é um subconjunto deficiente mínimo de $X$ , então para todos $s_1, s_2 \in S$ , existe um caminho em $G$ de $s_1$ para $s_2$ . Caso contrário, poderíamos decompor $S$ em dois (ou mais) componentes, pelo menos um dos quais teria que ser deficiente, contradizendo assim a minimalidade.

Agora, vamos consertar $M$ , alguma correspondência máxima em $G$ . Deixei $X' \subset X$ e $Y' \subset Y$ sejam os vértices que são correspondidos por $M$ e deixar $U = X\setminus X'$ ser o subconjunto de vértices incomparáveis em $X$ . Para qualquer subconjunto $S$ do $X$ , também indicaremos $m(S)$ como o conjunto de vértices em $G$ acessível a partir de $S$ através da $M$ caminhos alternativos.

Em uma resposta à pergunta vinculada no OP, vemos uma prova de que, se tomarmos $S = U \cup (m(U) \cap X)$ então $S$ é deficiente. Uma leitura cuidadosa dessa prova revela que ela funciona não apenas para $U$ mas qualquer subconjunto de $U$ . Ou seja, se pegarmos qualquer subconjunto $U_1 \subseteq U$ , então $U_1 \cup (m(U_1) \cap X)$ é um subconjunto deficiente de $X$ . Em particular, podemos tomar $U_1$ para ser um conjunto singleton. Para qualquer $u \in U$ , vamos definir $D_u = \{u\} \cup (m(\{u\}) \cap X)$ .

Lema 1 : $D_u$ é um conjunto mínimo e deficiente para todos $u \in U$ .

Prova : tomaremos como certo que $D_u$ é deficiente por meio de prova fornecida na resposta mencionada anteriormente. Para mostrar isso $D_u$ é uma deficiência mínima de wrt, observamos que $D_u \setminus \{u\}$ é simplesmente um subconjunto de $X'$ , portanto, existe uma combinação perfeita para ele dentro de $G$ (apenas tome a restrição de $M$ para $D_u\setminus \{u\}$ ) Para qualquer outro $y \in D_u$ , seguimos o $M$ caminho alternativo de $y$ para $u$ , vire todas as bordas ao longo desse caminho e obtenha uma combinação perfeita de $D_u \setminus \{y\}$ no $G$ . Então, pela observação 1, $D_u$ é um conjunto mínimo e deficiente. $\square$

Ok, agora que identificamos uma coleção de subconjuntos mínimos e deficientes de $X$ , precisamos perguntar: e os outros?

Para adicionar um pouco de estrutura, vamos considerar qualquer conjunto $S \subseteq X$ estar na forma $S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2$ Onde $U_1 \subseteq U$ , $Z_1 \subseteq m(U_1)$ e $Z_2 \subseteq X' \setminus m(U_1)$ . Em outras palavras, nós quebramos $S$ na parte que é incomparável $M$ ( $U_1$ ), a parte acessível a partir de $U_1$ através da $M$ caminhos alternativos ( $Z_1$ ) e a parte que não pode ser acessada $U_1$ através da $M$ caminhos alternativos ( $Z_2$ ) É trivial observar que, se $S$ é um conjunto deficiente, então $U_1$ deve estar não vazio.

Via Lema 1, abordamos o caso em que $Z_1 = m(U_1)$ e $Z_2$ está vazia. Isso deixa três casos para examinar:

$Z_2$ está vazio
$|U_1| > 1$ e $Z_1 \subsetneq m(U_1)$
$Z_1$ e estão ambos vazios (por exemplo: ). $Z_2$ $S \subseteq U$

Lema 2 : Se é tal que , então não é um subconjunto mínimo, deficiente de . $S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2 \subseteq X$ $Z_2 \neq \emptyset$ $S$ $X$

Prova : Let ser os elementos de que são emparelhados com em . Por definição, não pode haver arestas de nem a pois isso implicaria um caminho alternativo de de para vértices em . $M(Z_2)$ $Y$ $Z_2$ $M$ $U_1$ $Z_1$ $M(Z_2)$ $M$ $U_1$ $Z_2$

Se é um conjunto mínimo e deficiente, todos os subconjuntos de têm uma correspondência completa. Em particular, tem uma correspondência completa, digamos . Pela observação anterior, observamos que essa correspondência completa não usa nenhum dos vértices em . Portanto, a correspondência formada usando para corresponder a e para corresponder a é uma correspondência completa para , contradizendo a suposição de que era deficiente. $S$ $S$ $U_1 \cup Z_1$ $M_1$ $M_1$ $M(Z_2)$ $M_1$ $U_1 \cup Z_1$ $M$ $Z_2$ $S$ $S$ $\square$

Em uma versão anterior desta resposta, negligenciei o caso 2), assumindo que, de alguma forma, foi coberto durante a prova do Lema 1. No entanto, esse não é o caso. Pode haver conjuntos mínimos e deficientes que não se parecem com . O diagrama a seguir mostra um exemplo. Tomando as arestas em negrito como correspondente , podemos ver que é um conjunto mínimo e deficiente e não tem a forma . Ainda não consegui encontrar uma caracterização eficaz de conjuntos deficientes mínimos que se enquadram no caso 2, por isso, atualmente, não consigo concluir esta prova. $D_u$ $M$ $S = \{A, B, C\}$ $D_u$

— mhum
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Percebi essa linda resposta agora. Uma pergunta para esclarecimento: o "caminho alternado a M" pode ter uma única aresta? Parece que qualquer borda única, seja em M ou não, é tecnicamente "alternada em M". caso, o caso 1 do lema 2 pode ser muito mais curto: se é incomparável por , então está em ; existe uma única aresta entre e , portanto, ser acessado a partir de .

v_{2}

$v_2$

M

$M$

U_{1}

$U_1$

z

$z$

z

$z$

U_{1}

$U_1$

— Erel Segal-Halevi

Por outro lado, eu não entendi o caso 2 do Lema 2: e se tivermos todos correspondidos por , mas no caminho eles estão ligados por arestas que não estão em ? Então, podemos ter um caminho alternativo M de para , mas ele não se estende para um caminho alternado M de para .

z, v_{2}, v_{3}

$z, v_2, v_3$

M

$M$

M

$M$

v_{2}

$v_2$

u

$u$

z

$z$

u

$u$

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Em relação ao seu primeiro comentário, não sei se entendi perfeitamente. teria que ser um elemento de para que não possa estar em e não há necessariamente uma aresta entre e . Quanto ao seu segundo comentário, acho que você tem razão. Não consegui reproduzir essa parte da prova. Vou precisar repensar essa parte e ver se consigo salvá-la.

v_{2}

$v_2$

Y

$Y$

U_{1}

$U_1$

v_{2}

$v_2$

U_{1}

$U_1$

— Mhum

sobre o primeiro comentário: na verdade, eu não percebi que está em , obrigado pelo esclarecimento.

v_{2}

$v_2$

Y

$Y$

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Tenho boas e más notícias. A boa notícia é que fui capaz de reparar a lacuna na prova que você identificou com uma observação muito mais simples. A má notícia é que, ao revisar meu trabalho, encontrei um problema muito maior que ainda não consegui resolver.

— Mhum 13/06/19