Existem outras maneiras de descrever linguagens formais que não sejam gramáticas?

Estou procurando teorias matemáticas que lidam com a descrição de linguagens formais (conjunto de strings) em geral e não apenas hierarquias gramaticais.

Existem muitas possibilidades. Outros já mencionaram autômatos que oferecem uma rica seleção. Considere também as seguintes estruturas:

1. Algumas línguas podem ser definidas diretamente por definições (co) indutivas . Por exemplo, o menor ponto fixo de
   é o mesmo idioma descrito por(ba∣a)∗, o maior ponto de fixação é(ba∣a)ω. Observe que essa definição também pode ser escrita naforma deregra decálculo ouinferência:$\qquad \begin{align*} \phantom{a} \\ &\phantom{\Rightarrow}\ \varepsilon \in L \\ w \in L &\Rightarrow aw \in L \\ aw \in L &\Rightarrow baw \in L \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$(ba\mid a)^\omega$
   $\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \frac{}{\varepsilon}, \quad \frac{w}{aw}, \quad \frac{aw}{baw} \\ \phantom{a} \end{align*}$

2. Palavras definem estruturas de palavras que podem ser usadas como modelos de fórmula lógica . Essencialmente, toda palavra define o domínio de suas posições , predicados P a : D → { 0 , 1 }, de modo que P a ( i ) ⟺ w i = a para todos a ∈ Σ , um predicado < que é < de $D_w = \{1, \dots, n\}$$P_a : D \to \{0,1\}$$P_a(i) \Longleftrightarrow w_i = a$$a \in \Sigma$$<$$<$$\mathbb{N}$restrita a e um predicado suc : D w × D w → { 0 , 1 } que é verdadeira se e somente se o segundo parâmetro é o sucessor direto do punho. Assim, por exemplo, se w = a a b a b a a b então$D_w$$\operatorname{suc} : D_w \times D_w \to \{0,1\}$
   $w = aababaab$
   fato, essafórmula de primeira ordemdefine --- através do conjunto de todas as estruturas de palavras que a preenchem --- o mesmo idioma que(ba∣a)∗. Alinguagemωcorrespondente(ba∣a)ωé descrita pelafórmula LTL$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ S_w \models \forall\, i. \forall\, j.\ (P_b(i)\ \land\ \operatorname{suc}(i,j)) \to \lnot P_b(j); \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$\omega$$(ba\mid a)^\omega$
   São conhecidas várias equivalências entre as classes de idioma clássico e certas lógicas. Por exemplo,FOcorresponde a linguagens livres de estrelas, fracoMSOpara linguagens regulares eMSOparawlínguas -Regular. Vejaaquipara referências.$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \square\,(P_b \to\bigcirc(\lnot P_b)) \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $\omega$

3. Algo ortogonal às classes clássicas são linguagens de padrões . Suponha um alfabeto terminal e um alfabeto variável X = { x 1 , x 2 , … } . Uma corda p ∈ ( Σ ∪ X ) + é chamado de padrão . Seja H = { σ ∣ σ : X → Σ ∗ } o conjunto de substituições. Definimos a linguagem de um padrão p como$\Sigma$$X=\{x_1, x_2,\dots\}$$p \in (\Sigma \cup X)^+$$\mathcal{H}= \{\sigma \mid \sigma : X \to \Sigma^*\}$$p$
   Observe queσé estendido para trabalhar em padrões; os símbolos do terminal permanecem inalterados. Como exemplo, considereL(x1abbax1)={wabbaw∣w∈{a,b}∗}.$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \mathcal{L}(p) = \{\sigma(p) \mid \sigma \in \mathcal{H}\}. \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $\sigma$
   $\mathcal{L}(x_1abbax_1)= \{wabbaw\mid w \in \{a,b\}^*\}$
   Observe que permitimos que as substituições excluam variáveis; algumas propriedades da classe de linguagens de padrões são muito diferentes para excluir ou não excluir substituições. As linguagens de padrões são de particular interesse na aprendizagem ao estilo Gold .

Você deve dar uma olhada na teoria dos autômatos . Há muito material sobre isso.

Por exemplo, você pode definir uma linguagem regular com um autômato finito não determinístico com bordas rotuladas: uma sequência pertence ao idioma se o autômato puder seguir as transições rotuladas por seus caracteres e parar no estado final.

Além disso, uma gramática livre de contexto pode ser reconhecida por um autômato de empilhamento .

Outra maneira de definir linguagens é por meio de máquinas de Turing .

Na hierarquia de Chomsky, existem quatro tipos de linguagens formais (cada uma delas é um subconjunto das seguintes):

Uma linguagem formal regular pode ser descrita por:

1. Gramática regular
2. Autômato finito (determinístico / não determinístico)
3. Expressão regular

1., 2. e 3. são equivalentes e de um deles você pode construir os outros.

Uma linguagem formal sem contexto pode ser descrita por:

1. Gramática livre de contexto
2. Autômato de empilhamento

Também 1. e 2. são equivalentes.

Uma linguagem formal sensível ao contexto pode ser descrita por:

1. Autômato delimitado linear (máquina de Turing com fita restrita)

Uma linguagem formal recursivamente enumerável pode ser descrita por:

1. Máquina de Turing total

Além das outras respostas, é possível descrever e classificar os idiomas em termos de "geradores" e propriedades de fechamento. Por exemplo, faz sentido falar sobre o menor AFL gerado por algum idioma. Um bom lugar para começar a aprender sobre esse tipo de descrição é este livro, embora possa ser bastante difícil encontrar uma cópia impressa dele.