Resolução de equações funcionais para funções desconhecidas no cálculo lambda

Existem técnicas para resolver equações funcionais para funções desconhecidas no cálculo lambda?

Suponha que eu tenha a função de identidade definida extensionalmente como tal:

$I x = x$

(isto é, por escrever uma equação para o comportamento esperado dessa função) e agora eu quero resolver isso para fazendo alguma transformação algébrica para obter a fórmula intensional para essa função:$I$

$I = \lambda x.x$

que informa exatamente como a função faz o que era esperado (ou seja, como implementá-la no cálculo lambda).

Obviamente, a função de identidade é usada apenas como exemplo. Estou interessado em métodos mais gerais de resolver essas equações. Em particular, gostaria de encontrar uma função que atenda ao seguinte requisito:$B$

$B\;f\;(\lambda x.M) = (\lambda x.f M)$

isto é, "injeta" a função dada na função lambda fornecida antes de seu "corpo" (que é uma expressão arbitrária do lambda), possivelmente desmontando-a e construindo uma nova, para que se torne um parâmetro ao qual a função é aplicada.$f$$(\lambda x.M)$$M$$f$

Esse é um problema conhecido, conhecido como Unificação de Ordem Superior .

Infelizmente, esse problema é indecidível em geral. Existe um fragmento decidível, conhecido como Fragmento de Padrão de Miller. É usado extensivamente, entre outras coisas, na verificação tipográfica de programas de tipo dependente com metavariáveis ​​ou correspondência de padrões. É neste fragmento que as variáveis ​​de unificação são aplicadas apenas a variáveis ​​distintas do programa vinculado.

Este documento fornece um ótimo tutorial de como a unificação de ordem superior funciona e mostra uma implementação (relativamente) simples.

Infelizmente, não parece que sua função se enquadra nesse fragmento de padrão. Dito isto, o que estou vendo é bastante semelhante à composição das funções. A função a seguir satisfaz sua propriedade?

$B = \lambda f\ g\ x\ \ldotp f\ (g\ x)$

Nós temos:

• $B\ f\ (\lambda x . M)$
• $= B\ f\ (\lambda y . [y/x]M)$ por -equivalência$\alpha$
• $= \lambda x . f\ ((\lambda y. [y/x]M) x)$
• $= \lambda x . f\ ([x/y][y/x]M)$
• $= \lambda x . f\ M$

Eu acho que tenho uma resposta parcial, em relação à equação com a função de identidade:

$I x = x$

Queremos resolvê-lo, encontrando a fórmula para , que terá a forma ( λ p . M ) com alguma expressão ainda desconhecida como seu corpo. Vamos substituí-lo por na equação original:$I$$(\lambda p.M)$$M$$I$

$(\lambda p.M)\; x = x$

aplique a função em no lado esquerdo:$x$

$M[p/x] = x$

Mas o que temos aqui? :> Esta equação é a fórmula para a expressão que estamos procurando, depois de substituir todas as ocorrências de nela por , e diz que ela deve parecer com o lado direito depois :) Em outras palavras, a função we estava procurando é:p $M$$p$$x$

$I = (\lambda x.x)$

qual, é claro, é a resposta certa :)

Vamos tentar a mesma abordagem para encontrar a fórmula para o combinador . Queremos que funcione de tal maneira que, quando aplicado a si mesmo, se produza aplicado a si mesmo:$\omega$

$\omega\;\omega = \omega\;\omega$

Agora vamos encontrar a fórmula para que é da forma para alguma expressão ainda desconhecido . Substituindo isso na equação, obtemos:$\omega$$(\lambda x.M)$$M$

$(\lambda x.M)\;\omega = \omega\;\omega$

A aplicação ao parâmetro no lado esquerdo fornece a fórmula para :$M$

$M [x/\omega] = \omega\;\omega$

Isso diz que, depois de substituir cada ocorrência de em por ela produziu , então podemos deduzir que a expressão original antes da substituição deveria ter sido portanto, a função que procurávamos deveria parece com isso:$x$$M$$\omega$$\omega\;\omega$$M$$x\;x$

$\omega = (\lambda x.x\;x)$

que é realmente o caso :)

Tenho a sensação, no entanto, de que pode ficar tão fácil só porque o lado direito já estava no formato que procuramos.