Como provar que a multiplicação de duas matrizes 2x2 não pode ser feita em menos de 7 multiplicações?

Na multiplicação de matrizes de Strassen, afirmamos um fato estranho (pelo menos para mim): a multiplicação de matrizes de dois 2 x 2 exige 7 multiplicações.

Pergunta: Como provar que é impossível multiplicar duas matrizes 2 x 2 em 6 multiplicações?

Observe que as matrizes estão sobre números inteiros.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Complexidade
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Existem outros algoritmos de multiplicação de matrizes que podem ser mais rápidos. Este artigo da Web de uma classe Stanford CME 323 fornece detalhes sobre o algoritmo de Strassen, multiplicação de matrizes: algoritmo de Strassen . Há um tópico da Wikipedia, o algoritmo Strassen, que entra em detalhes e possui links para informações adicionais.

— Richard Chambers

@RichardChambers Observe que o algoritmo de Strassen tem

multiplicações. Parece-me plausível que esse limite inferior seja verdadeiro.

7

$7$

— Stella Biderman

Como formulado, esta pergunta está errada. Existem muitas matrizes que podem ser multiplicadas com

multiplicações. Você quer dizer para pedir uma prova de que, no pior dos casos, leva 7 aka existe alguma matriz que requer 7

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBiderman sim, eu vi que o Strassen tem 7 multiplicações. Não olhei para o outro, mais rápido e algoritmos com menor complexidade. Pelo que sei, eles usam a mesma abordagem sub-matriz que a de Strassen, mas não tenho certeza. Eu estava apenas adicionando algumas informações adicionais sobre o Strassen especificamente.

— Richard Chambers

Parece haver algo faltando na sua pergunta. Eu posso facilmente dar um algoritmo que pode multiplicar pelo menos algumas matrizes com 0 multiplicações. Provavelmente há uma restrição que você não está mencionando.

— Jörg W Mittag

Este é um resultado clássico de Winograd: Na multiplicação de matrizes 2x2 .

$n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Yuval Filmus
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Você pode encontrar o resultado em:

S.Winograd, Na multiplicação de matrizes 2 × 2 , Álgebra Linear e Appl. 4 (1971), 381-388, MR0297115 (45: 6173).

— Stella Biderman
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