Combinador Y, composição da função

Estou tentando entender os combinadores Y. Poderia explicar por que os seguintes itens são equivalentes

(Y (f ∘ g))   
(f (Y (g ∘ f)))

(Y é uma combinação de pontos fixos)

Depende da noção de equivalência que você está usando.

Suponha que comparemos esses termos de acordo com sua semântica denotacional, nos domínios -CPO. Denote com a semântica dos termos . Assim, são funções contínuas de Scott. Então, temos que a semântica de é, de acordo com o teorema do ponto fixo de Kleene$\omega$$F,G$$f,g$$F,G$$Y(f \circ g)$

$$(1) = [\![ Y(f\circ g) ]\!] = \bigsqcup\{ \bot, F(G(\bot)),F(G(F(G(\bot)))),\ldots\}$$ que indica o limite superior / mínimo superior.$\bigsqcup$

Da mesma forma, temos

$$(2) = [\![ f(Y(g\circ f) ]\!] = F(\bigsqcup\{ \bot, G(F(\bot)),G(F(G(F(\bot)))),\ldots\})$$

Por continuidade, obtemos

$$(2) = \bigsqcup\{ F(\bot), F(G(F(\bot))),F(G(F(G(F(\bot))))),\ldots\}$$

Pode-se então provar que observando que qualquer elemento de qualquer cadeia está delimitado acima por algum elemento da outra cadeia. De fato, temos estabelecendo isso . Além disso, que , concluindo a prova.$(1)=(2)$

$$\bot \sqsubseteq F(\bot), F(G(\bot)) \sqsubseteq F(G(F(\bot))), \ldots$$ $(1)\sqsubseteq(2)$ $$F(\bot) \sqsubseteq F(G(\bot)), F(G(F(\bot))) \sqsubseteq F(G(F(G(\bot)))), \ldots$$ $(2)\sqsubseteq(1)$

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Muito menos formalmente, o termo expressa a aplicação infinita e, da mesma forma, expressa É bastante natural, portanto, que a aplicação de um único em cima do segundo resulte no primeiro. A prova teórica do domínio acima fornece uma justificativa formal disso.$Y(f \circ g)$

$$f(g(f(g(\ldots))))$$ $Y(g \circ f)$ $$g(f(g(f(\ldots))))$$ $f$