Existe um análogo de "regular" para seqüências infinitas?

Considere a sequência $s_1 = (1, 0, 1, 0,\dots)$. Parece "regular" de uma maneira que, por exemplo,$s_2 = (1, 2, 3, 4,\dots)$ não é.

Não sei ao certo como formalizar essa intuição. Uma coisa que me impressiona é que$L =\{(0 1)^n\}$ é uma linguagem regular e $s_1$ é, em certo sentido, o limite das strings nesse idioma.

Existe uma terminologia para considerar essas seqüências infinitas? Temos algo análogo ao lema de bombeamento, pelo qual podemos afirmar que qualquer dessas cordas "regulares infinitas" tem a forma$x y^ {\infty}z$ com $x$, $y$, $z$ finito?

Provavelmente, o termo mais específico para descrever sua primeira string, $010101\dots$é periódico . Uma linha$x_1x_2\dots$ (finito ou infinito) é periódico se houver algum $t$ de tal forma que, para todos $i$, $x_i=x_{i+t}$. No caso deste exemplo, podemos tomar$t=2$. Uma noção um pouco mais fraca é que uma corda é eventualmente periódica se houver$n$ e $t$ de tal modo que $x_i=x_{i+t}$ para todos $i\geq n$.

Mais geralmente, porém, há um análogo direto das línguas regulares, que é o $\omega$idiomas regulares . Estes são reconhecidos por generalizações naturais de autômatos finitos. O conjunto de estados ainda é finito, mas o critério de aceitação deve ser modificado para lidar com palavras infinitas - em particular, não podemos apenas dizer "Aceitar se o autômato terminar em um estado de aceitação" porque o autômato nunca termina de processar sua entrada infinita.

A classe mais simples de autômatos para palavras infinitas são os autômatos de Büchi . Eles são definidos exatamente como os autômatos finitos aos quais você está acostumado e aceitam sua entrada se pelo menos um estado de aceitação for visitado infinitamente com frequência durante a execução do autômato. Uma diferença dos autômatos finitos comuns é que os autômatos Büchi não determinísticos são mais poderosos que os determinísticos, e os$\omega$linguagens regulares são as aceitas pelos autômatos não determinísticos de Büchi. Outros critérios de aceitação sensatos levam a outros modelos de autômatos que aceitam a mesma classe de idiomas.

Note que não faz muito sentido escrever $xy^\omega z$, já que você não pode ter nada após uma sequência infinita de$y$s. Pelo menos, você não pode se as posições na sua string forem indexadas pelos números naturais. Se eles são indexados por ordinais maiores, isso pode fazer sentido.

Na verdade, não me lembro se existe um análogo do lema de bombeamento para $\omega$idiomas regulares. Isso é um pouco embaraçoso, embora faça quase uma década desde que eu lecionei uma aula de pós-graduação sobre esse assunto.

Este é um resultado básico da Efetividade do Tipo Dois, que acho que responde à sua pergunta de um ponto de vista computável. A seguir, nossos idiomas consistem apenas em seqüências infinitas. Denotamos o conjunto de cadeias infinitas$\Sigma^\omega$.

Teorema: Se um autômato realizável termina em cada seqüência infinita, o idioma do autômato é igual a $S\Sigma^\omega$ Onde $S$ é um conjunto finito de cadeias finitas.

A prova é do lema de Konig.

A conclusão é que uma linguagem sobre seqüências infinitas é "simples" em algum sentido (que é um fato interessante ) ou indecidível. Qualquer noção não trivial de linguagem sobre cadeias infinitas é indecidível.

Presumivelmente, você pode estudar idiomas menos simples se permitir que a associação seja semidecidável em vez de decidível. Isso ainda pode ser considerado "ciência da computação" e não apenas matemática infinita (tem a ver com problemas de pesquisa em vez de problemas de decisão; semidecidabilidade é, em certo sentido, suficiente para fazer uma pesquisa).