A interseção de infinitos conjuntos recursivos é recursiva?

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É a interseção de infinitos conjuntos recursivos $\bigcap_{i}U_{i}$ (onde cada conjunto é diferente) recursivo? Recursivamente enumerável? Eu sei que a união não precisa ser recursiva, porque decidir se um elemento está no conjunto $U_i$ é o mesmo que decidir o problema da parada, já que para cada elemento você terá que decidir se a função que calcula se $x \in U_i$ para alguns terminarei. $i$

computability sets

Os "conjuntos recursivos infinitos" devem ser "infinitamente muitos conjuntos recursivos"?

— Andrej Bauer

@AndrejBauer yes

Por esse raciocínio, tudo é o mesmo que decidir o problema da parada. Quero saber se o número de entrada é igual a 42; para isso, tenho que decidir se o programa que interrompe apenas se o número de entrada for 42 será interrompido.

— user253751

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Como você já conhece os sindicatos, pode descobrir isso lembrando as leis de Morgan: o complemento de uma união é o complemento da interseção de complementos. Com isso em mente: deixe $U_i$ ser o conjunto de (índices de) máquinas de Turing que não param dentro $i$ etapas de execução. Então, o complemento $\mathbb{N} \setminus U_i$ é o conjunto de (índices) daquelas máquinas que param na primeira $i$ passos.

Agora temos:

⋂_{Eu} {você}_{Eu} = N ∖ ⋃_{Eu} (N ∖ {você}_{Eu}) = N ∖ H

$\textstyle\bigcap_i U_i = \mathbb{N} \setminus \bigcup_i (\mathbb{N} \setminus U_i) = \mathbb{N} \setminus H$ Onde

H

$H$ é o conjunto de paradas. O complemento de

H

$H$ não é recursivo nem recursivamente enumerável.

A propósito, você afirma que "decidir se um elemento está no conjunto $U_i$ é o mesmo que decidir o problema da parada ... "o que não é necessariamente verdadeiro. Por exemplo, se eu definir $U_i = \{42\}$ para todos $i$ , então todo o $U_i$ são decidíveis. Você precisa prestar atenção ao que seu $U_i$ são.

— Andrej Bauer
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Para cada $i\in \mathbb{N}$ , toma $S_i = \mathbb{N}\setminus \{i\}$ . Agora você pode criar qualquer conjunto que desejar $X = \bigcap_{i\notin X}S_i$ .

Da mesma forma, uma prova mais fácil de que uma união de conjuntos recursivos pode ser qualquer coisa é deixar $T_i=\{i\}$ e agora qualquer conjunto $X$ é $X = \bigcup_{i\in X}T_i$ .

— David Richerby
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