Soma de prefixo na matriz 2D mutável

Suponha que eu tenha uma matriz 2D M[n][n]de números inteiros (de fato, binário é bom, mas duvido que isso importe). Estou interessado em consultas repetidas do formulário: dado um par de coordenadas $k,l$ , o que é Obviamente, todos esses valores podem ser calculados no tempo total e, depois disso, as consultas recebem . No entanto, minha matriz é mutável e cada vez que altero um valor, a solução óbvia exige uma atualização .

\sum_{i = 0}^{k - 1} \sum_{j = 0}^{l - 1} M [i] [j] ?

$\sum_{i = 0}^{k-1} \sum_{j = 0}^{l-1} M[i][j]?$

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

O (1)

$\mathcal O(1)$

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

Podemos criar uma quad-tree over M; o pré-processamento leva $\mathcal O(n^2\log(n))$ , e isso nos permite fazer consultas em e atualizações em . $\mathcal O(n\log(n))$ $\mathcal O(\log(n))$

Minha pergunta é:

Podemos melhorar significativamente as consultas sem sacrificar muito as atualizações?

Estou especialmente interessado em obter as operações de atualização e consulta sub-lineares e, em particular, obtê-las em . $\mathcal O(n^\epsilon)$

Edit: para obter mais informações, embora eu ache o problema interessante, mesmo sem essa restrição adicional, espero fazer aproximadamente consultas e sobre . O objetivo ideal é reduzir o tempo de execução completo para . Portanto, uma situação em que uma atualização usa enquanto uma consulta usa também seria interessante para mim. $\mathcal O(n^3)$ $\mathcal O(n^2)$ $\mathcal O(n^{3+\epsilon})$ $\mathcal O(n \log(n))$ $\mathcal O(\log(n))$

complexity-theory data-structures trees

— Mees de Vries
fonte

Com uma árvore Fenwick 2D (também conhecida como árvore BIT), você pode obter atualizações e consultas em

O (\log n)

$O(\log n)$ Tempo. Há uma página que descreve aqui: geeksforgeeks.org/… . Disclaimer: Eu não entendi completamente como isso funciona.

— Jrandom_hacker

Existe uma solução relativamente simples em que cada consulta e cada atualização podem ser feitas em $O(\log^2 n)$ Tempo. A estrutura de dados usa $O(n^2)$ espaço.

Nós teremos $\lg n$ "granularidades" da estrutura de dados, uma para cada potência de duas $2^m$ de tal modo que $1 \le 2^m \le n$ . A estrutura de dados para granularidade $2^m$ armazena as somas

\sum_{i = k_{0} \cdot 2^{m}}^{(k_{0} + 1) \cdot 2^{m} - 1} \sum_{j = 0}^{l - 1} M [i, j]

$\sum_{i=k_0 \cdot 2^m}^{(k_0+1) \cdot 2^m -1} \sum_{j=0}^{l-1} M[i,j]$

para cada $k_0,l$ . Essa estrutura de dados para granularidade $2^m$ por sua vez, pode ser representado usando $n/2^m$ árvores balanceadas (uma para cada valor possível de $k_0$ ) para armazenar somas de prefixo.

Agora, procure a soma do prefixo para $k,l$ , terminamos o intervalo $[0,k-1]$ em uma união de intervalos de potência de dois; no máximo $\lg n$ intervalos são necessários. Para cada intervalo de duração $2^m$ , fazemos uma pesquisa na estrutura de dados da granularidade $2^m$ . Assim, as perguntas podem ser respondidas fazendo $O(\log n)$ pesquisas em uma árvore equilibrada, cada uma das $O(\log n)$ tempo, por um tempo total de $O(\log^2 n)$ por consulta.

As atualizações também podem ser feitas em $O(\log^2 n)$ Tempo. Atualizar $M[i,j]$ , para cada granularidade $2^m$ , você atualiza a árvore balanceada apropriada na estrutura de dados de granularidade $2^m$ . Isto é $O(\log n)$ atualizações oin $O(\log n)$ árvores equilibradas; cada um desses leva $O(\log n)$ tempo, então o tempo total é $O(\log^2 n)$ Tempo.

Finalmente, a estrutura de dados de granularidade $2^m$ contém $n/2^m$ árvores, cada uma ocupando $O(n)$ espaço, portanto, o uso total do espaço é $O(n^2 \cdot (1 + 1/2 + 1/4 + \cdots)) = O(n^2)$ .

— DW
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