Complexidade de uma variante de soma de subconjuntos

Essa variante do problema de soma de subconjuntos é fácil / conhecida?

Dado um número inteiro , e um conjunto de números inteiros positivos A = { x 1 , x 2 , . . . , x n } de modo que todo x i tenha no máximo k = 2 bits definido como 1 ( x i = 2 b i 1 + 2 b i 2$m$$A = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$$x_i$$k=2$$1$ ); há um subconjunto Um ' ⊆ Um tal modo que a soma dos seus elementos é igual a m ?$x_i = 2^{b_{i_1}}+2^{b_{i_2}},\;\; b_{i_1},b_{i_2}\geq 0$$A' \subseteq A$$m$

Está em ? Ainda é N P completo?$\sf{P}$$\sf{NP}$

E se todo tiver no máximo k = 3 bits definido como 1 ? Para k = 1, o problema é trivial.$x_i$$k=3$$1$$k=1$

É ainda -completo, mesmo para k = 2 . Dada uma instância da soma do subconjunto, podemos transformá-la nessa variante dividindo os números e adicionando alguns bits extras.$\sf{NP}$$k=2$

Primeiro, a soma de todos os números no problema será menor que para algum valor de m .$2^m$$m$

Agora, vamos pegar um número do problema original que tem k bits definidos. Dividiremos esse número em k números com exatamente 2 bits configurados de forma que a soma desses números seja n + 2 k + m . Podemos fazer isso de forma recursiva, encontrando ⌈ k ⌉ números que soma até os primeiros ⌈ k ⌉ bits mais 2 k + m - 1 e ⌊ k ⌋ números que soma até os últimos ⌊ k ⌋ bits mais 2 $n$$k$$k$$n+2^{k+m}$$\lceil{k}\rceil$$\lceil{k}\rceil$$2^{k+m-1}$$\lfloor{k}\rfloor$$\lfloor{k}\rfloor$ .$2^{k+m-1}$

Além desse número, também adicionaremos o número ao problema. Uma solução deve conter esse número ou todos os k números construídos anteriormente. Se o valor-alvo original for t, o novo valor-alvo será t + 2 k + m .$2^{k+m}$$k$$t$$t+2^{k+m}$

Se o problema original tiver mais de um número, podemos repetir esse processo usando para o novo valor de m .$k+m+1$$m$

Existem apenas duas maneiras pelas quais o bit na posição pode ser definido: a resposta pode conter o número 2 k + m ou todos os k números que somam n + 2 k + m . Portanto, reduzimos a soma do subconjunto à sua variante de soma do subconjunto.$k+m$$2^{k+m}$$k$$n+2^{k+m}$

Como exemplo, vamos usar com o valor desejado 7 . Esse problema pode ser codificado como a variante de soma do subconjunto apresentada aqui, usando os seguintes números binários:${\{2,3,5\}}$$7$

2 é mapeado para e 0000 1 . (Usar o bit extra não é estritamente necessário aqui.)$0100\ 1$$0000\ 1$

3 é mapeado para e 0000 00 $1000\ 00\ 1, 0100\ 00\ 1$$0000\ 00\ 01$

5 é mapeado para e 0000 00 000 01 .$1000\ 00\ 000\ 1, 0010\ 00\ 000\ 1$$0000\ 00\ 000\ 01$

O novo valor-alvo se tornaria .$1110\ 10\ 010\ 01$

Se o problema original estiver representado com bits, o problema transformado terá no máximo O ( n 4 ) bits. O problema original terá no máximo O ( n ) números, cada um com no máximo O ( n ) bits; portanto, a soma de todos eles também é O (n). O problema transformado terá números O ( n 2 ) (já que cada número de n bits é dividido em n + 1 números de 2 bits, com o comprimento sendo no máximo O ( n 2$n$$O(n^4)$$O(n)$$O(n)$$O(n^2)$$n$$n+1$ $2$$O(n^2)$já que usamos bits adicionais para cada número. Portanto, o tamanho total do problema transformado é de O ( n 4 ) bits.$n$$O(n^4)$

Esta é a informação extraída da pergunta por Vor.

$k \geq 3$

$k = 2$