Problema da mochila - NP-completo, apesar da solução de programação dinâmica?

Problemas de mochila são facilmente resolvidos por programação dinâmica. A programação dinâmica é executada em tempo polinomial; é por isso que fazemos, certo?

Eu li que, na verdade, é um problema NP-completo, o que significa que provavelmente é impossível resolver o problema no problema polinomial.

Onde está meu erro?

complexity-theory np-complete dynamic-programming

— Strin
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Lembre-se de que o DP é polinomial no "tamanho da tabela". A tabela é exponencialmente grande para a mochila (veja a resposta de Kaveh).

— Raphael

Respostas:

Problema da mochila é $\sf{NP\text{-}complete}$ quando os números são dados como binários números. Nesse caso, a programação dinâmica levará exponencialmente muitos passos (no tamanho da entrada, isto é, o número de bits na entrada) para finalizar $\dagger$ .

Por outro lado, se os números na entrada forem dados em unário, a programação dinâmica funcionará em tempo polinomial (no tamanho da entrada).

Esse tipo de problema é chamado fracamente $\sf{NP\text{-}complete}$ .

$\dagger$ $2$ $\sqrt{n}$ $n$ $n$ $n$ $\lg n$ $O(\sqrt{n}) = O(2^{\lg n/2})$

Esse tipo de algoritmo, ou seja, polinômio no maior número que faz parte da entrada, mas exponencial no comprimento da entrada é chamado pseudo-polinômio .

— Kaveh
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Mas pense nos objetos a serem colocados na mochila. Os objetos precisam ser inseridos e essa entrada deve ser polinomial com o número de objetos. Se os objetos forem suficientes, a entrada será polinomial com o tamanho do problema. Então, por que não posso dizer que o Problema da Mochila é um problema P em termos de tamanho da tabela? Estou errado?

— Strin

m

$m$

m

$m$

2 \lg m

$2\lg m$

m

$m$

Você pode dividir a entrada em entradas menores, cuja codificação binária tem um tamanho que termina o algoritmo em tempo polinomial e combina as soluções?

— Char

@Kaveh "O tamanho da entrada é de aproximadamente 2 lg m" Eu não entendo de onde você tira essa peça. A relação entre m(tamanho da embalagem) e n(número de itens) é totalmente desconhecida, certo? E re "quando os números são dados como números binários" ... mas você não pode dizer isso para nada? Na maioria dos algoritmos, falamos sobre o tamanho da entrada na base 10. Por que falar sobre o binário aqui? E se você codifica em binário, octal, decimal, etc ... o actualnúmero de vezes que você itera pelo loop principal do algoritmo depende diretamente de ambos ne W.

— The111

@ The111, acho que é melhor se você postar isso como uma nova pergunta e eu postarei uma resposta. Eu acho que sua pergunta é mais fundamental e há comentários não muito relacionados a essa questão.

— Kaveh

A principal confusão está na diferença entre " tamanho " e " valor ".

" Tempo polinomial " implica em polinômio o tamanho da entrada.

" Tempo pseudopolinomial " implica em polinômio o valor da entrada. Pode ser mostrado (abaixo) que isso é equivalente a ser exponencial em relação ao tamanho da entrada.

$N_{size}$ $N_{val}$

$O(N_{size}^x)$ $x\in\mathbb{N}$

$O(N_{val}^x)$ $x\in\mathbb{N}$

$O(nW)$ $W$

$N_{size}=Log_b(N_{val})$ $N_{val}$ $b$ $N_{val}$

N_{v a l} = b^{N_{s i z e}}

$N_{val}=b^{N_{size}}$

$N_{size}$

$O(b^{xN_{size}})$ $b, x\in\mathbb{N}$

— bcorso
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Criou uma conta aqui apenas para agradecer muito! Somente após o seu exemplo eu finalmente entendi.

— Inoryy 6/03/2014

Sua resposta supera todos, bravo!

— Muhammad Razib 01/12/2015

Para adicionar a essa ótima resposta, podemos dizer que, se alterarmos o W de 100 para 101, o tamanho do problema não será aumentado, o tamanho será aumentado se adicionarmos outro bit ao W, o que o torna duas vezes maior, portanto a tabela tem o dobro de linhas e, portanto, com o aumento do tamanho em um, o tempo do problema é dobrado, por isso é exponencial.

— Amém

@bcorso Suponha que você receba um valor N. E você teve que encontrar a soma dos números de 1 a N e usou o método for loop, que seria um algoritmo de tempo pseudopolinomial?

— DollarAkshay

$\text{P}=\text{NP}$

Existem, no entanto, diferentes variantes (por exemplo, 0-1 Mochila e outras ) que podem ou não ter soluções em tempo polinomial ou boas aproximações. Mas isso não é o mesmo que o problema geral da mochila. Além disso, pode haver algoritmos eficientes que funcionam para instâncias específicas (famílias de) , mas esses algoritmos levarão mais tempo em outras instâncias.

— Tocou.
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