Tenho a impressão de que, para todo problema NP-completo, para infinitos tamanhos de entrada , o número de instâncias yes em todas as entradas possíveis de tamanho é (pelo menos) exponencial em .
Isso é verdade? Isso pode ser comprovado (provavelmente apenas sob a suposição de que )? Ou podemos, talvez artificialmente, encontrar um problema em que para todos (grande o suficiente) , o número de instâncias sim é no máximo polinomial em ?
Meu raciocínio é basicamente que, dada uma instância yes para 3-SAT, podemos identificar o literal em cada cláusula que a torna verdadeira e substituir outra variável na cláusula por outra variável, sem alterar a satisfação. Como poderíamos fazer isso com cada cláusula, isso leva a um número exponencial de instâncias yes. O mesmo vale para muitos outros problemas, como o caminho hamiltoniano: podemos mudar livremente as arestas que não estão no caminho. Em seguida, raciocino vagamente que, uma vez que a redutibilidade está envolvida, onde, de alguma maneira, as soluções devem ser mantidas, ela deve valer para todos os problemas completos de NP.
Parece também valer para o talvez problema intermediário NP do isomorfismo de gráfico (onde podemos aplicar livremente as mesmas alterações nos dois gráficos se conhecermos o mapeamento). Gostaria de saber se isso também vale para a fatoração inteira.