Existe um algoritmo de força não bruta para eulerização de gráficos?

Dado um gráfico não direcionado, não ponderado, conectado e com arestas potencialmente paralelas $G$, um circuito de Euler pode ser construído se todo vértice $G$ tem um grau par.

Em gráficos com dois ou mais vértices de grau ímpar (pode haver apenas múltiplos de dois), é necessário "Eulerizar" o gráfico, conectando os vértices ímpares com arestas adicionais a outros vértices, se necessário.

O caso ideal para a eulerização é a construção de apenas $n/2$ bordas, onde $n$ é o número de vértices de graus ímpares, mas isso só pode ser o caso se cada vértice ímpar tiver um parceiro adjacente, permitindo assim conectar os dois vértices com uma aresta e torná-los pares.

Dito isto, a maioria dos gráficos exigirá mais do que $n/2$arestas. Como seres humanos, tendemos a Eulerizar gráficos sempre escolhendo cada par de vértices ímpares que são adjacentes um ao outro e, em seguida, usando tentativa e erro para o resto. No entanto, isso nem sempre funciona.

Por exemplo, no gráfico a seguir, escolhendo adicionar uma aresta entre o par de vértices ímpares adjacentes, $1\leftrightarrow 2$ e usando $5$ arestas para conectar $3\leftrightarrow 4$ resulta em uma eulerização que custa $6$arestas. No entanto, optando por conectar$1\leftrightarrow 4$ e $2\leftrightarrow 3$ produz uma eulerização que custa $5$ arestas, mesmo que não tenha usado os vértices ímpares adjacentes a seu favor.

Sei com certeza que esse problema é solucionável, pelo menos por força bruta, porque o número de pares de vértices ímpares que devem ser conectados a um certo número de arestas é finito; especificamente, existem$2^{n/2} \Gamma(\frac{n+1}{2})/\sqrt{\pi}$( Mathematica disse isso ) possíveis conjuntos de pares de vértices ímpares para conectar. É possível percorrer cada um deles, vinculando cada vértice ao seu parceiro (encontrar o caminho mais curto entre os dois vértices em um gráfico não direcionado é provavelmente um desafio em si, para o qual a Wikipedia não fornece uma complexidade de tempo ).

No final, todo o negócio provavelmente é executado em tempos polinomiais, tempos exponenciais, tempo fatorial, o que é bastante desagradável. Eu fiz algumas pesquisas básicas sobre se existem algoritmos que Eulerize caminhos, mas que parecem não encontrar nenhum.

Código do Mathematica para gráficos:

GraphPlot[
  {1 -> 2, 2 -> 5, 5 -> 3, 3 -> 6, 6 -> 3, 6 -> 7, 7 -> 6, 2 -> 7, 7 -> 8, 8 -> 9, 9 -> 10, 10 -> 4, 4 -> 11, 11 -> 4, 11 -> 12, 12 -> 1, 1 -> 12}, 
  VertexRenderingFunction -> 
    (If[#2 < 5, 
        Text[Style[#2, Large], #1, Background -> Yellow], Null] &)]

Considere o problema do carteiro chinês em gráficos não direcionados: Dado um gráfico não direcionado$G$, encontre o menor circuito do gráfico que percorre todas as margens pelo menos uma vez. Agora se$G$é euleriano, o circuito de Euler é o mais curto desse tipo. Caso contrário, algumas arestas serão percorridas mais de uma vez. Em outras palavras, algumas arestas serão duplicadas e o circuito será euleriano no gráfico com essas arestas extras.

Agora, para obter o menor circuito, a duplicação de arestas deve ser minimizada. É o mesmo que seu problema. Você precisa encontrar um novo gráfico$H$ que tem todas as arestas de $G$e algumas arestas paralelas extras - o mínimo possível de arestas extras - para que $H$é euleriano. Cada aresta extra$H$ corresponde ao fato de que sua borda paralela correspondente $G$ é visitado novamente em um curto circuito completo de $G$. Em outras palavras, a "eulerização" ótima (mínima) é equivalente ao problema do carteiro chinês. Para uma explicação melhor expressa disso, consulte a Seção 4 (Problema do carteiro chinês) e a Definição 11 (Eulerização, Eulerização mínima) dessas notas. Felizmente, isso é solucionável em tempo polinomial para gráficos não direcionados.

Para o problema do carteiro chinês , a Wikipedia tem uma solução. Descrevo outro algoritmo do The Algorithm Design Manual de Steven Skiena [1]:

1. Encontre os caminhos mais curtos entre cada par de vértices de grau ímpar em $G$: $O(n^3)$.
2. Localizando o melhor conjunto de caminhos mais curtos para adicionar $G$ reduz a identificação da correspondência perfeita de peso mínimo em um gráfico especial $G' = (V', E')$. Os vértices$V'$ do $G'$ correspondem aos vértices de grau ímpar de $G$, com o peso da borda $(i, j) \in E'$ definido como o comprimento do caminho mais curto entre $i$ para $j$ no $G$. Observe que uma correspondência é um conjunto de arestas não adjacentes aos pares. Assim, cada aresta na correspondência conecta dois vértices e nenhum vértice faz parte de duas correspondências (um vértice correspondido é correspondido exatamente com outro vértice). Uma correspondência perfeita é uma correspondência em que cada vértice foi correspondido. Agora, para cada aresta correspondente obtida, você pode considerar os dois vértices finais emparelhados. A restrição de "peso mínimo" ao obter a correspondência garante que o peso total de cada aresta na correspondência seja o menor possível. Como o peso de cada aresta é a distância entre seus pontos finais$G$, que por sua vez é o número de arestas que precisam ser duplicadas quando os pontos finais são emparelhados - essa condição garante que, globalmente, o número total de duplicação de arestas seja minimizado. A obtenção dessa correspondência é descrita em [2] e baseia-se no algoritmo Blossom . Uma implementação eficiente é descrita por Kolmogorov [3] ( cópia pré-impressa ) com uma implementação aqui . A implementação é uma melhoria em relação às idéias e análises apresentadas por Cook e Rohe em [4]. Isto pode ser feito$O(n^3)$.
3. Uma vez obtida a correspondência, cada vértice ímpar é emparelhado com outro vértice ímpar. Este é o emparelhamento que você deseja.

Assim, você pode obter a "Eulerização" ideal no polinômio no tempo (cúbico) no número de vértices ímpares. Isto é baseado em um artigo de Edmonds e Johnson [2] que resolve o problema do carteiro chinês.

Referências:

1. Steven S. Skiena. O Manual de Design de Algoritmos. ISBN: 978-1-84800-069-8 e-ISBN: 978-1-84800-070-4 e DOI: 10.1007 / 978-1-84800-070-4
2. J. Edmonds e E. Johnson. Correspondência, passeios de Euler e o carteiro chinês. Mathematics Programming, 5: 88–124, 1973.
3. Vladimir Kolmogorov. Blossom V: Uma nova implementação de um algoritmo de correspondência perfeita de custo mínimo. In Computational Programming Computation (MPC), julho de 2009, 1 (1): 43-67.
4. W. Cook e A. Rohe. Computando combinações perfeitas de peso mínimo. INFORMS Journal on Computing, 11 (2): 138-148, fevereiro de 1999.