Isomorfismo gráfico e grupo automorfismo

Uma abordagem comum para decidir se dois gráficos dados são isomórficos é calcular o chamado rótulo canônico (alternativamente, gráfico canônico) de cada gráfico e verificar se eles correspondem ou não.

Ferramentas como o Nauty calculam o gráfico canônico através de árvores de pesquisa removidas usando algumas idéias inteligentes que dependem, entre outras, de automorfismos de gráficos. Por isso, o Nauty permite calcular um gerador do grupo automorfismo gráfico. No entanto, até onde eu entendi a idéia por trás de Nauty, o cálculo do gráfico canônico não requer que se calcule um gerador do grupo automorfismo do gráfico em geral.

Minha pergunta é, portanto: existe uma relação formal de complexidade teórica entre GI e o cálculo de um grupo gerador do grupo gráfico de automorfismo?

Muito Obrigado.

complexity-theory graph-isomorphism

— user88338
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Nós podemos determinar se e são isomorfos através do grupo automorphism de . Indo para o outro lado, não tenho certeza - talvez exista uma maneira simples de rotular canonicamente um gráfico, considerando seu grupo de automorfismo.

G

$G$

H

$H$

G \cup H

$G \cup H$

— Rebecca J. Stones

@ RebeccaJ.Stones, essa é a mesma pergunta? A menos que a Wikipedia esteja desatualizada, não se sabe se o isomorfismo do gráfico e a canonização do gráfico são equivalentes ao tempo polinomial, portanto, não acho que um algoritmo para rotular canonicamente um gráfico do grupo automorfismo possa lhe dizer algo útil sobre a relação entre computação o grupo e GI.

— Peter Taylor

Como os comentários sugerem, pode haver confusão sobre o que você chama de "IG". Mas a ideia aqui está correta. É equivalente a tempo polinomial encontrar geradores de um grupo automorfismo, assim como encontrar um isomorfismo entre dois grupos. A idéia é "clássica", pois aparece em trabalhos iniciais, como o isomorfismo do grupo de Luks, em valência limitada, em tempo polinomial, e mesmo lá acho que a idéia foi considerada "bem conhecida".

Afirmação. Deixe e ser ligados entre si gráficos. Em seguida, se, e apenas se, a cada gerador conjunto de contém um elemento de tal modo que . $G$ $H$ $G\cong H$ $S$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $g\in S$ $G^g=H$

Observação Importante aqui é que todos os grupos geradores trocam os gráficos, caso contrário, às vezes você calcula geradores que não resolvem o problema. Assim, por exemplo, o isomorfismo de dois grupos não produz tão facilmente dessa maneira. Isso ocorre porque nem todos os grupos geradores de vai trocar e , quando . em vez disso, eles podem ir para cópias diagonais. Essa situação pode ser corrigida, mas requer um argumento mais forte. Portanto, a abordagem aqui não é aplicável a todas as categorias. $\mathrm{Aut}(G\times H)$ $G$ $H$ $G\cong H$

Prova. Para o inverso se cada conjunto (ou mesmo um) geradora de intercâmbios e , em seguida, pela restrição de que a função de . Então, isso é tudo sobre a direção a frente. (Mas eu mencionei isso porque a prova é por contraposição, para que pareça que estou prestes a seguir a mesma direção.) $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$ $G\cong H$ $G$

Suponha é gerado por um conjunto , cujos elementos enviar para , e de , (nota por pressuposto conectividade se um vértice do é enviado para um vértice de , em seguida o gráfico inteiro é enviado para e, portanto, pelo buraco do pombo, algum vértice em será enviado para e, portanto, e teremos trocado os dois gráficos). Como envia para , então toda composição de funções em $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $S$ $G$ $G$ $H$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $H$ $G$ $|G|=|H|$ $S$ $G$ $G$ $S$ envia para , e o inverso dessas funções também. Portanto, toda palavra em envia para (e também para ). Assim, nenhum elemento de intercâmbios e . $G$ $G$ $S$ $G$ $G$ $H$ $H$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$

Finalmente, se , em seguida, um isomorfismo proporciona um automorphism de . Assim, a ausência de elementos em para trocar e implica . O resultado segue. $G\cong H$ $\phi:G\to H$ $\phi\sqcup \phi^{-1}$ $G\sqcup H$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$ $G\not\cong H$ $\Box$

Mas agora o ponto a ser esclarecido é que ir da decisão ( ?) pesquisa (Dê-me ou um certificado que ) ainda precisa ser discutido ( e pode ser). Também de um isomorfismo para geradores de automorfismos há outro argumento (individualize os gráficos e repita o teste de isomorfismo). Então, todos disseram que você tem algumas páginas de argumento para fazer essas equivalências. Nenhum mostrará rotulagem canônica. Isso é muito mais difícil (NP-difícil, se bem me lembro). Embora NAutY e Traces lidem com muitos exemplos rapidamente. $G\cong H$ $\phi:G\to H$ $G\not\cong H$

— Algeboy
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