Idiomas que satisfazem o lema de bombeamento, mas não são regulares?

Dada uma linguagem regular , é fácil provar que existe um constante, como , com existem cadeias , e modo que e e, para todo , é$L$$N$$\sigma \in L$$\lvert \sigma \rvert \ge N$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lvert \alpha \beta \rvert \le N$$\lvert \beta \rvert \ne \epsilon$$k$$\alpha \beta^k \gamma \in L$. É amplamente afirmado que o inverso não é verdadeiro, mas não vi nenhum exemplo claro. Alguma sugestão? Claramente, a prova de que a linguagem ofensiva não é regular deve usar métodos mais fortes do que o típico "não satisfaz o lema da bomba". Eu estaria interessado em exemplos simples, para apresentar em aulas introdutórias de idiomas formais.

A linguagem parece ser simples. A segunda parte é regular (e pode ser bombeada). A primeira parte não é regular, mas pode ser bombeada "para dentro" da segunda parte, escolhendo $ para bombear.$\{ \$ a^nb^n \mid n \ge 1 \} \cup \{ \$^kw \mid k\neq 1, w\in \{a,b\}^* \}$$\$$

(adicionado) Obviamente, isso pode ser generalizado para para qualquer L ⊆ { a , b } ∗ . Às vezes, a formulação está no estilo "se ... então ...": se w começa com um único $ , é da forma. Que eu pessoalmente acho menos intuitivo.$\$L \cup \{ \$^k \mid k\neq 1 \} \cdot \{a,b\}^*$ $L\subseteq \{a,b\}^*$$w$$\$$

Conforme observado por @vonbrand, a parte (possivelmente) não regular do idioma é isolada pela interseção com . Isso pode ser testado separadamente usando o lema de bombeamento, se necessário.$\$\{a,b\}^*$