Uma linguagem completa de NP densa implica P = NP

Dizemos que a linguagem é densa se existir um polinômio tal que para todos osEm outras palavras, para um dado comprimento , existem apenas polinomialmente muitas palavras de comprimento que não estão em p | J c ∩ Σ n | ≤ p ( n ) n ∈ N$J \subseteq \Sigma^{*}$$p$

O problema que estou estudando atualmente pede para mostrar o seguinte

Se existe uma linguagem densa de , então$NP$$P = NP$

O que o texto sugere é considerar a redução polinomial para - e, em seguida, construir um algoritmo que tente satisfazer a fórmula fornecida, ao mesmo tempo em que gera elementos em$3$$SAT$$CNF$$J^c.$

O que eu quero saber é

Existe uma prova mais direta? Essa noção é conhecida em um cenário mais geral?

Este é um bom problema de lição de casa sobre o teorema de Mahaney.

Observe que o complemento de uma linguagem "densa" é uma linguagem esparsa. Além disso, se uma linguagem é -completa, seu complemento é -completa.c o N $\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Se existe uma "densa" linguagem -completo, há uma escassa linguagem -completo.c o N $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

O teorema de Mahaney nos diz que não existe uma linguagem incompleta esparsa , a menos que .P = N $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

Podemos adotar a prova para mostrar que não há linguagem , a menos que seja equivalente a (desde que está fechado com complementos).P = c o N P P = N P $\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Em resumo, a resposta é não, a menos que . Observe que, se , toda linguagem não trivial é concluída.P = N P N $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

ps: Você pode tentar o seguinte e usar o teorema de Mahaney: existe um conjunto esparso se houver um conjunto . No entanto, duvido que uma prova para essa afirmação seja muito mais fácil do que uma prova para o teorema de Mahaney.c o N $\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Como mencionado acima, de acordo com o teorema de Mahaney . Dispersa idiomas e densas não poderia ser a menos que P = N P .$NP-Hard$$P=NP$

O rascunho mencionado contém uma prova completa.