Por que uma máquina de Turing que repete a mesma configuração duas vezes deve estar em um loop infinito?

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Eu vi a seguinte declaração e não entendo bem o raciocínio por trás dela:

Se uma máquina de Turing repete a mesma configuração duas vezes, ela deve estar em um loop infinito.

Eu pensei que uma pode estar em um estado , com a fita à esquerda 000 e à direita 111. Digamos que ela se move para a direita e depois para a esquerda, permanecendo no mesmo estado; não estamos na mesma configuração? $TM$ $q_1$

complexity-theory turing-machines

— Alan
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Sim, estamos na mesma configuração e percorreremos o movimento para sempre, para a direita e para a esquerda.

— chi

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Isso ocorre porque a função de transição de uma TM é determinística. Se a configuração for a mesma, os argumentos de também serão os mesmos, resultando em um loop infinito. Formalmente, isso pode ser provado como o @ gnasher729 faz . $\delta$ $\delta$

Vamos considerar o seu exemplo. Se sua se mover da seguinte maneira, $TM$

(q_{1 1}, \dots 00 [0 0] 111 \dots) \overset{q_{1 1}, direita}{\to} (q_{1 1}, \dots 000 [1 1] 11 \dots) \overset{q_{1 1}, esquerda}{\to} (q_{1 1}, \dots 00 [0 0] 111 \dots)

$(q_1, \dots00[0]111\dots) \xrightarrow{q_1, \text{right}} (q_1, \dots000[1]11\dots) \xrightarrow{q_1, \text{left}} (q_1, \dots00[0]111\dots)$

então o último passo é igual ao primeiro, o que significa um loop infinito.

— nekketsuuu
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São os dois lados? Se uma TM não repetir a mesma configuração duas vezes, é necessariamente interrompida?

— Avishay28

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Não. Contra-exemplo: TM, que apenas inverte um bit atual e sempre se move para a direita e não possui um estado final. Se a fita inicial for [0] 000 ..., ela atua como 1 [0] 00 ..., 11 [0] 0 ..., 111 [0] ... e assim por diante.

— nekketsuuu

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Se sua Máquina de Turing estiver em algum estado X após n etapas e novamente no mesmo estado X após n + m etapas, ele repetirá exatamente as mesmas ações da etapa n + m executadas na etapa n e após a etapa n + 2m, ele estará no estado X novamente, o mesmo após o passo n + 3m, n + 4m e assim por diante. Então você está em um loop infinito.

Seu exemplo foi um caso em que você alcançou o mesmo estado novamente após duas etapas, então m = 2.

— gnasher729
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_{Uma versão da resposta de @nekketsuu sem símbolos, setas ou grego:}

A configuração de uma máquina determina o que faz a seguir (e indutivamente, determina todo o seu futuro). Portanto, se o que acontece após uma determinada configuração é que você a alcança novamente com mais algumas etapas, isso continuará acontecendo repetidamente, sem fim.

Isso é verdade para qualquer máquina determinística : máquina de tornear, autômato finito (determinístico), autômato (determinístico) de pilha etc.

— einpoklum
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