Versão de otimização de problemas de decisão

Sabe-se que cada problema de otimização / pesquisa tem um problema de decisão equivalente. Por exemplo, o problema do caminho mais curto

• optimização / pesquisa versão: Dado um gráfico não ponderada não dirigida e dois vértices , encontrar o caminho mais curto entre e .$G = (V, E)$$v,u\in V$$v$$u$
• versão decisão: Dado um gráfico não ponderada não dirigida , dois vértices , e um número inteiro não negativo , existe um caminho em entre e , cujo comprimento é no máximo ?$G = (V, E)$$v,u\in V$$k$$G$$u$$v$$k$

Em geral, "Encontre st !" torna-se "Existe x \ no X st f (x) \ leq k ?".$x^*\in X$$f(x^*) = \min\{f(x)\mid x\in X\}$$x\in X$$f(x) \leq k$

Mas o inverso também é verdadeiro, ou seja, existe um problema de otimização equivalente para cada problema de decisão? Caso contrário, qual é o exemplo de um problema de decisão que não possui um problema de otimização equivalente?

Como já mencionado nos comentários, isso depende das definições, como de costume. Minha tentativa de responder a isso precisa de algumas definições, portanto esse será outro exemplo de minha incapacidade de fornecer respostas concisas.

Definição: Um problema de otimização é uma tupla com$(X,F,Z,\odot)$

• $X$ o conjunto de instâncias ou entradas adequadamente codificadas (cadeias) .
• $F$ é uma função que mapeia cada instância para um conjunto de soluções viáveis de .$x\in X$$F(x)$$x$
• $Z$ é a função objetivo que mapeia cada par , onde e , para um número real chamado valor de .$(x, y)$$x \in X$$y\in F(x)$$Z(x, y)$$y$
• $\odot$ é a direção da otimização , ou .$\min$$\max$

Definição: Uma solução ideal de uma instância de um problema de otimização é uma solução viável para a qual . O valor de uma solução ótima é indicado com O p t ( x ) e chamado de ideal .x ∈ X P $x\in X$$P_O$ Y ∈ F ( x ) Z ( x , y ) = ⊙ { Z ( x , y ' ) | y ' ∈ F ( x ) $y\in F(x)$$Z(x, y)=\odot\{Z(x, y')\mid y'\in F(x)\}$$Opt(x)$

Definição: O problema de avaliação , denominado P E , correspondente ao problema de otimização P O é o seguinte: Dada uma instância x ∈ X , calcule O p t ( x ) se x tiver uma solução ideal e, caso contrário, não produzir uma solução ótima.$P_E$$P_O$$x\in X$$Opt(x)$$x$

Observe que isso apenas pede o valor da solução ideal, não a solução inteira com todos os seus detalhes.

Definição: O problema de decisão , denominado P D, correspondente ao problema de otimização P O, é o seguinte: Dado um par ( x , k ) , onde x ∈ X e k ∈ Q , decidem se x tem uma solução viável y tal que Z ( x , y ) ≤ k se ⊙ = min e tal que Z ( x , y $P_D$$P_O$$(x, k)$$x\in X$$k\in\mathbb{Q}$$x$$y$$Z(x, y)\le k$$\odot=\min$≥ k se ⊙ = máx .$Z(x, y)\ge k$$\odot=\max$

Uma primeira observação é agora que P S ∈ N P S ⇒ P D ∈ N P . A prova não é difícil e omitida aqui.$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

Agora intuitivamente P E e P D correspondendo a P S não são mais difíceis do que P ó si. Para expressar formalmente esse sentimento (definindo assim o que significa equivalente ), usaremos reduções.$P_E$$P_D$$P_O$$P_O$

Lembre-se de que um idioma L 1 é redutível em tempo polinomial para outro idioma L 2 se houver uma função f , computável em tempo polinomial, tal que para todas as palavras x , x ∈ L 1 ⇔ f ( x ) ∈ L 2 . Esse tipo de redutibilidade é conhecido como Karp ou redutibilidade muitos-para-um , e se L 1 é redutível a L 2 dessa maneira, expressamos isso escrevendo L 1 ≤ m L $L_1$$L_2$$f$$x$$x\in L_1\Leftrightarrow f(x)\in L_2$$L_1$$L_2$$L_1\le_m L_2$. Este é um conceito central na definição de NP-completude.

Infelizmente, reduções muitos para um variam entre idiomas e não está claro como empregá-los no contexto de problemas de otimização. Portanto, precisamos considerar um tipo diferente de redutibilidade, a redutibilidade de Turing . Primeiro, precisamos disso:

Definição: Um oráculo para um problema P é uma sub-rotina (hipotética) que pode resolver instâncias de P em tempo constante.$P$$P$

Definição: Uma problema P 1 é de tempo polinomial Turing-redutível a um problema P 2 , escrita P 1 ≤ T P 2 , se exemplos de P 1 pode ser resolvido no tempo polinomial por um algoritmo com acesso a um Oracle para P 2 .$P_1$$P_2$$P_1\le_T P_2$$P_1$$P_2$

Informalmente, assim como com ≤ m , a relação P 1 ≤ T P 2 expressa que P 1 não é mais difícil que P 2 . Também é fácil ver que, se P 2 pode ser resolvido em tempo polinomial, P 1 também pode . Novamente ≤ T é uma relação transitiva. O seguinte fato é óbvio:$\le_m$$P_1\le_T P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$$\le_T$

Vamos P S ∈ N P S , então P D ≤ T P E ≤ T P S .$P_O\in \mathrm{NPO}$$P_D\le_T P_E\le_T P_O$

Porque, dada a solução completa, calcular seu valor e decidir se atende ao limite k são simples.$k$

Definição: Se por dois problemas P 1 e P 2 ambas as relações P 1 ≤ T P 2 , P 2 ≤ P 1 se mantiverem, escrevemos P 1 ≡ T P 2 ; nossa noção de equivalência .$P_1$$P_2$$P_1\le_T P_2$$P_2\le P_1$$P_1\equiv_T P_2$

Estamos agora pronto para a prova de que P D ≡ T P E dado o problema de optimização correspondente é P S ∈ N P S e Z é um valor inteiro. Temos que mostrar que P E ≤ T P D se mantém. Podemos determinar ⊙ { Z ( x , y ) | y ∈ F ( x ) } com um binário procurar usign o orcale para P D . A definição de N$P_D\equiv_T P_E$$P_O\in \mathrm{NPO}$$Z$$P_E \le_T P_D$$\odot\{Z(x,y)\mid y\in F(x)\}$$P_D$$\mathrm{NPO}$ assegura que | Z(x,y) | ≤ 2 q ( | x | ) para algum polinômioq, portanto, o número de etapas na pesquisa binária é polinomial em | x | . $|Z(x, y)|\le 2^{q(|x|)}$$q$$|x|$$\Box$

Para um problema de otimização P O, a relação com P E é menos clara. Em muitos casos concretos, pode-se demonstrar directamente que P D ≡ T P E ≡ T P S . Para provar que isso geralmente ocorre dentro da estrutura apresentada aqui, precisamos de uma suposição adicional.$P_O$$P_E$$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O$

Primeiro, precisamos estender ≤ m de pares de idiomas para pares dos problemas de decisão correspondentes. Então é fácil ver que ≤ T é mais geral que ≤ m .$\le_m$$\le_T$$\le_m$

Sejam P e P ' problemas de decisão; então P ≤ m P ′ ⇒ P ≤ T P ′ . Isso ocorre porque uma redução muitos-para-um pode ser interpretada como o uso de um oráculo de maneira muito restrita: o oráculo é chamado uma vez, no final, e seu resultado também é retornado como o resultado geral. $P$$P'$$P\le_m P' \Rightarrow P\le_T P'$$\Box$

Agora estamos prontos para o final:

Vamos P S ∈ N P O e suponha Z é número inteiro com valor e que P D é NP-completa, em seguida, P D ≡ T P E ≡ T P S . Com as observações anteriores, continua a mostrar P ó ≤ T P E . Para fazer isso, irá apresentar um problema P ' O ∈ N P S tal que P ó ≤ T P ' E . Então nós temos$P_O\in \mathrm{NPO}$$Z$$P_D$

Agora os detalhes: Assume-se que as soluções viáveis de P ó são codificados usando um alfabeto Σ equipado com uma ordem total. Seja w 0 , w 1 , … as palavras de ∗ Σ listadas em ordem de comprimento não decrescente e ordem lexicográfica dentro dos blocos de palavras com comprimento comum. (Assim, w 0 é a palavra vazia.) Para todo y ∈ Σ ∗, deixe σ ( y ) denotar o inteiro único i tal que y = w i . Ambos $P_O$$\Sigma$$w_0, w_1, \ldots$$\Sigma^*$$w_0$$y\in\Sigma^*$$\sigma(y)$$i$$y=w_i$$\sigma$e σ - 1 pode ser calculado em tempo polinomial. Seja q um polinômio tal que, para todo x ∈ X e todo y ∈ F ( x ) , tenhamos σ ( y ) < 2 q ( | x | ) .$\sigma^{-1}$$q$$x\in X$$y\in F(x)$$\sigma(y)<2^{q(|x|)}$

Agora o problema P ' S é idêntico ao P ó excepto para uma função objectivo modificado Z ' . Para x ∈ X e y ∈ F ( x ) , tomamos Z ′ ( x , y ) = 2 q ( | x | ) ⋅ Z ( x , y ) + σ ( y ) . Z $P_O'$$P_O$$Z'$$x\in X$$y\in F(x)$$Z'(x, y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$$Z'$é calculável no tempo polinomial assim P ' O ∈ N P S .$P_O'\in \mathrm{NPO}$

Para mostrar que P O ≤ T P ' E observamos que x é viável para P O se e somente se é viável para P ' E . Podemos assumir que esse é o caso, pois o caso oposto é trivial de lidar.$P_O\le_T P_E'$$x$$P_O$$P_E'$

A substituição de Z ′ por Z é monotônica no sentido de que, para todo y 1 , y 2 ∈ F ( x ) , se Z ( x , y 1 ) < Z ( x , y 2 ) então Z ′ ( x , y 1 ) < Z ′ ( x , y 2 ) . Isso implica que toda solução ideal para $Z'$$Z$$y_1, y_2\in F(x)$$Z(x, y_1)<Z(x, y_2)$$Z'(x, y_1)<Z'(x, y_2)$$x$em P ' ó é uma solução óptima de X em P ó . Assim, a nossa tarefa reduz para o cálculo de uma solução óptima y de x em P ' ó .$P_O'$$x$$P_O$$y$$x$$P_O'$

Consultando o oráculo para P ′ E , podemos obter o valor de Z ′ ( x , y ) = 2 q ( | x | ) ⋅ Z ( x , y ) + σ ( y ) . Formar o restante deste número, o módulo 2 q ( | x | ) produz σ ( y ) a partir do qual y pode ser calculado em tempo polinomial.$P_E'$$Z'(x,y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$$2^{q(|x|)}$$\sigma(y)$$y$

Como dizem os comentários, a resposta depende das definições exatas. Deixe-me interpretar a questão de uma maneira muito básica (até ingênua).

Vamos S haver alguma relação, isto é S ⊆ { ( a , b ) | a , b ∈ Σ * } .$S$$S \subseteq \{ (a,b) \mid a,b \in \Sigma^*\}$

Agora, definimos um problema de pesquisa para S :$S$

Dada a , encontrar um b tal que ( a , b ) ∈ S .$a$$b$$(a,b) \in S$

e um problema de decisão para S :$S$

Dada ( um , b ) resposta ou não ( de um , b ) ∈ S .$(a,b)$$(a,b) \in S$

_{(for instance, in the example given in the question, $S$ will hold all the pairs $(u,v,k)$ such that there exists a path between $u$ and $v$ which is shorter than $k$.)}

Note that these two problems are well defined. For this definition, we can ask whether the two problems are "equivalent" for any $S$. In "equivalent" I mean that if one of them is computable (i.e., there exists an algorithm that solves it) than the other one is computable as well. In general, they are not.

Claim 1: Decision implies Search.

Proof: Let $D_S$ be the algorithm that solves the decision problem of $S$. Given an input $a$, We can run $D_S(a,x)$ for any $x\in \Sigma^*$, one after the other, or in parallel. If there exists $b$ such that $(a,b)\in S$, we will eventually find it. If not, the algorithm might not stop$^\dagger$.

Claim 2: Search does not imply Decision.

The reason is that the search algorithm might return a different $b$ than the one we need. That is, for every $a$ there is some $b$ that is very easy to find, but other $b'$ that is not. For instance, let $L$ be some undecidable language, then define

$^\dagger$ This depends on $S$. If, for instance, $S$ is bounded, there might exists an algorithm that does stop.