Problema interessante na classificação

Dado um tubo com bolas numeradas (aleatório). O tubo tem orifícios para remover uma bola. Considere as seguintes etapas para uma operação:

1. Você pode pegar uma ou mais bolas dos buracos e lembrar a ordem em que as escolheu.
2. Você precisa inclinar o tubo para o lado esquerdo, para que as bolas restantes no tubo se desloquem para a esquerda e ocupem o espaço vazio criado pela remoção das bolas.
3. Você não deve alterar a ordem em que você selecionou as bolas numeradas do tubo. Agora você as coloca de volta no cano usando o espaço vazio criado pelo movimento das bolas.

As etapas 1 a 3 são consideradas como uma operação.

Descubra as operações mínimas necessárias para classificar as bolas numeradas em ordem crescente.

Por exemplo: Se o tubo contiver: $[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

Em seguida, pode tirar e e , e se a inclinação tubo para a esquerda, obtemos , e inserimos , em que para a extremidade de tubo para chegar .$4$$5$$6$$[1\ 2\ 3]$$(4\ 5\ 6)$$[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$

Portanto, o número mínimo de etapas necessárias é 1. Preciso encontrar operações mínimas para classificar o tubo.

Alguma idéia ou dicas sobre como resolver esse problema?

Defina o número da partição de execução de uma permutação , denotada r ( π ) , usando o seguinte processo. Seja k o número inteiro máximo, de modo que os números min ( π ) , … , k apareçam em ordem crescente em π . Remova-os de π e repita o processo. O número de rodadas necessárias para consumir toda a permutação é r ( π ) .$\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

Por exemplo, vamos calcular . Primeiro , para obter . Então separamos , para obter . Em seguida, separamos , para obter . Finalmente, separamos para obter a permutação vazia. Isso leva quatro rodadas, então r ( 62735814 ) = 4 .$r(62735814)$6273584 234 6758 $1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$

Como essa representação é útil para classificar ? Faça cada segunda execução, ou seja, 234 , 678 , e mova esses números para a direita para obter 51627384 (editar: na ordem em que aparecem na permutação, ou seja, 627384 ). Agora, existem apenas duas execuções, 1234 , 5678 , e podemos classificar a lista movendo 5678 para a direita.$62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$

Agora deixe-me fazer a seguinte conjectura: Para uma permutação , vamos Π ser o conjunto de todas as permutações que são acessíveis a partir de π dentro de um movimento. Então min α ∈ ¸ r ( α ) = ⌈ r ( $\pi$$\Pi$$\pi$ .$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

Dada essa conjectura, é fácil mostrar que o número mínimo de movimentos necessários para classificar uma permutação é ⌈ log 2 r ( π ) ⌉ , e eu verifiquei essa fórmula para todas as permutações em S n para$\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$ .$n \leq 8$

Edit: Aqui está uma interpretação diferente do número da partição de execução que fornece um algoritmo de tempo linear para computá-lo e permite que eu faça um esboço de uma prova de minha conjectura, verificando assim a fórmula .$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

Considere a permutação novamente. A razão pela qual a primeira execução termina em 1 é que 2 aparece antes de 1 . Da mesma forma, a segunda execução termina em 4, pois 5 aparece antes de 4 e assim por diante. Portanto, o número da partição de execução de uma permutação é o número de i s, tal que i $62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$ aparece antes de i .$i+1$$i$

Podemos afirmar isso de forma mais sucinta se olharmos para o inverso da permutação. Considere novamente . Tome π - 1 = 72485136 . Essa permutação possui três descidas: 7 2 48 5 1 36 (uma descida é uma posição menor que a anterior). Cada uma das descidas corresponde ao início de uma nova corrida. Então r ( π ) é igual a um mais o número de descidas em π - 1 .$\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

Como é a operação em termos de ? seja B o conjunto de números que movemos para a direita e A seja o conjunto de números que ficam à esquerda. Substituímos os números em A por uma permutação em { 1 , … , | Um | } representando sua ordem relativa e substitua os números em B por uma permutação em { | Um | + 1 , … , | Um | + | B | $\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$. Por exemplo, considere a movimentação 248136 foi mapeado para 468357 . . Em termos de permutações inversas, são 7 248 5 136 ↦ 2 468 1 357 . Então 75 foi mapeado para 21 e$\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$$7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$$75$$21$$248136$$468357$

Uma descida em π - 1 é perdido após a operação somente se x ∈ A e y ∈ B . Por outro lado, em termos de π - 1 , a partição em A e B corresponde a A -runs e B -runs; toda vez que um B- run termina e um A- run. Se matarmos duas descidas, teremos mudado no meio de um $\ldots xy \ldots$$\pi^{-1}$$x \in A$$y \in B$$\pi^{-1}$$A$$B$$A$$B$$B$$A$ corrida começa, há uma descida. Para "matar" uma descida, temos que mudar de um run para um $A$$B$$B$ corrida para uma corrida , causando uma descida.$A$

Este argumento pode ser formalizadas para mostrar que se surge a partir π através de uma operação, em seguida, d ( α - 1 ) ≥ ⌊ d ( π - 1 ) / 2 ⌋ , onde d ( ⋅ ) é o número de descidas. Isso é equivalente a r ( α ) ≥ ⌈ r ( π ) / 2 $\alpha$$\pi$$d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$$d(\cdot)$$r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$, provando assim uma direção da minha conjectura. A outra direção é mais fácil, e já foi descrita acima: simplesmente fazemos cada segundo ciclo e empurramos esses movimentos para a direita para obter uma permutação satisfazendo r ( α ) = ⌈ r ( π / 2 ) ⌉ .$\alpha$$r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$