Computando a substring comum mais longa de duas seqüências usando matrizes de sufixo

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Depois que aprendi a construir uma matriz de sufixos na complexidade $O(N)$ , estou interessado em descobrir os aplicativos das matrizes de sufixos. Uma delas é encontrar a substring comum mais longa entre duas strings, no tempo $O(N)$ . Encontrei na internet o seguinte algoritmo:

mesclar as duas seqüências $A$ e $B$ em uma seqüência $AB$
calcular a matriz de sufixos de $AB$
calcular a matriz $LCP$ (prefixo comum mais longo)
a resposta é o maior valor $LCP[i]$

Tentei implementá-lo, mas como muitos detalhes da implementação não foram informados (por exemplo, ao concatenar as strings, devo colocar um caractere especial entre elas ( )?), Meu código falhou em muitos casos de teste. Alguém poderia elaborar mais sobre esse algoritmo? $AcB$

Desde já, obrigado.

Nota: Eu não garanto a correção deste algoritmo; Encontrei-o em um blog e não sei se está funcionando. Se você acha que está incorreto, sugira outro algoritmo.

algorithms suffix-array

— Rontogiannis Aristofanis
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Antes de implementar o algoritmo, tente entender por que ele funciona. Isso pode ajudar a responder a uma pergunta como concatenar duas strings.

— Yuval Filmus

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Duvido da exatidão deste algoritmo. Tome

e

, da maneira que eu o li retornará

, o que está errado.

a b c d a b c d

$abcdabcd$

b c d

$bcd$

a b c d

$abcd$

— 21413 Khaur

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Seu algoritmo está incorreto . Suponho que você saiba calcular a matriz de sufixos e a matriz LCP de uma string, ou seja, sua implementação eficiente. Como foi indicado nos comentários, você deve tentar entender o que é cada componente e por que ele funciona.

Antes de mais nada, é o sufixo matriz ( ) de uma cadeia de caracteres. Uma matriz de sufixos é basicamente todos os sufixos da string organizados em ordem lexicográfica crescente. Mais especificamente, o valor indica que o sufixo de a partir da posição é classificada como na ordenação lexicographic de todos os sufixos de . $SA$ $S$ $SA[i]$ $S$ $SA[i]$ $i$ $S$

Em seguida é a matriz indica o comprimento da mais longa comum prefixo entre os sufixos começando a partir de e . Ou seja, ele controla o comprimento do prefixo comum mais longo entre dois sufixos consecutivos de quando organizados em ordem lexicográfica. $LCP$ $LCP[i]$ $SA[i-1]$ $SA[i]$ $S$

Como exemplo, considere a sequência . Os sufixos em ordem lexicográfica seriam , então $S = abbabca$ $\{a, abbabca, abca, babca, bbabca, bca, ca\}$ para uma matriz indexada em 1. Amatriz seria . $SA = [7, 1, 4, 3, 2, 5, 6]$ $LCP$ $LCP = [-, 1, 2, 0, 1, 1, 0]$

Agora, dada duas cadeias e , nós concatenar-los como , onde é um personagem não está presente em ambos e . A razão para a escolha de tal caráter um é para que quando o cálculo da LCP de dois sufixos, diz e , a comparação vai quebrar no final do primeiro string (uma vez que só ocorre uma vez, dois sufixos diferentes nunca terão na mesma posição) e não "transbordam" para a outra sequência. $A$ $B$ $S = A\#B$ $\#$ $A$ $B$ $ab\#dabd$ $abd$

Agora, ele pode ser visto que você deve ser capaz de ver porque você só precisa ver valores consecutivos no array (o argumento é baseado em contradição eo fato de que os sufixos em estão em ordem lexicográfica). Continue verificando a matriz para o valor máximo, de modo que os dois sufixos que estão sendo comparados não pertençam à mesma sequência original. Se eles não pertencerem à mesma cadeia original (uma começa em e a outra em ), o maior valor é o comprimento da maior substring comum. $LCP$ $SA$ $LCP$ $A$ $B$

Como exemplo, considere e . Então, . Os sufixos classificados são $A = abcabc$ $B = bc$ $S = abcabc\#bc$ . $\{abc\#bc, abcabc\#bc, bc, bc\#bc, bcabc\#bc, c, c\#bc, cabc\#bc\}$
$\begin{align*} SA &= [4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 7] \\ LCP &= [-, 3, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0] \end{align*}$

Agora, o maior valor é , mas é para e , sendo que ambos começar na cadeia . Então, nós ignoramos isso. Por outro lado, é para (corresponde ao do sufixo de ) e $LCP[2] = 3$ $SA[1]$ $SA[2]$ $A$ $LCP[4] = 2$ $SA[3]$ $bc$ $B$ $SA[4]$ $bcabc\#bc$ $A$ $2$ $LCP$ $SA[3]$ $SA[4]$ $bc$

— Paresh
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Excelente explicação, mas eu acho que o exemplo é um pouco errado, os sufixos classificadas são: {#bc,abc#bc,abcabc#bc,bc,bc#bc,bcabc#bc,c,c#bc,cabc#bc}, SA=[7,4,1,8,5,2,9,6,3]eLCP=[−,0,3,0,2,2,0,1,1]

— Saúl Martínez Vidals

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O algoritmo que você encontrou online não está totalmente correto. Como mencionado por Paresh, falhará no exemplo dado por ele.

No entanto, se você garantir que, ao verificar o LCP, verifique apenas o LCP de substrings de cadeias diferentes. Por exemplo, se você estiver localizando o LCS das sequências A e B, precisará garantir que as entradas adjacentes da Matriz de sufixo ao verificar o LCP não sejam da mesma sequência.

Mais detalhes aqui .

— rohitjv
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— David Richerby

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Eu acho que algo como o algoritmo que você cita realmente deve funcionar se um caractere que não faz parte do conjunto de caracteres for usado como separador e as matrizes de sufixo / prefixo são criadas para excluir todas as strings que contêm o separador, provavelmente a intenção do designer. isso é basicamente equivalente à criação de matrizes de sufixo / prefixo para as duas seqüências separadas.

seria útil para referência futura se você postasse um link para o algoritmo. note que a wikipedia possui o algoritmo para isso no pseudocódigo e em muitos outros algoritmos. e há implementações na maioria dos idiomas padrão disponíveis online.

— vzn
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