Encontre uma linha reta para dividir dois polígonos convexos por área igual

Suponha, temos dois polígonos convexos não sobrepostos $A$ e . Como podemos desenhar uma linha reta que divide em duas partes da mesma área e também divide em duas partes da mesma área? Além disso, podemos fazer isso com complexidade ou melhor? ( ) $B$ $A$ $B$ $O(n^2)$ $n = |A| + |B|$

computational-geometry

— John Reese
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Que abordagens você já considerou até agora?

— koverman47

O que você tentou? Onde você ficou preso? Estamos felizes em ajudá-lo a entender os conceitos, mas é improvável que apenas resolva exercícios para você. Você pode achar esta página útil para melhorar sua pergunta.

— DW

Fiquei preso nesse problema quando estava tentando resolver isso . Isso não é como lição de casa ou algo assim. Além disso, até agora não tenho nenhuma idéia sobre como resolvê-lo.

— John Reese

Isso é conhecido como o teorema de Ham-Sandwich :

Dados dois objetos mensuráveis em $2$ espaço euclidiano tridimensional, é possível dividir cada um deles ao meio com uma linha.

Nota: Convexidade não é necessária. E $\mathbb{R}^2$ pode ser substituído por $\mathbb{R}^d$ com "linha" substituído por um $(d{-}1)$ hiper-dimensional.

^{(Imagem de curiosity.com .)}

Veja o link da Wikipedia para versões computacionais.

Adicionado em resposta à solicitação de @ WillardZhan:

Ivan Stojmenovíc. Bissecções e cortes em sanduíche de presunto de polígonos convexos e poliedros. Inf. Processo. Lett. 38 (1): 15-21. 1991. ( CiteSeer PDF download .)
Resumo . Apresentamos um algoritmo seqüencial de tempo linear para encontrar uma linha reta que corta dois polígonos convexos separados (isto é, corta os dois em partes da mesma área).

Abbott, Timothy G., Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Daniel M. Kane, Stefan Langerman, Jelani Nelson e Vincent Yeung. "Cortes dinâmicos de sanduíche de presunto de polígonos convexos no avião". In CCCG , pp. 61-64. 2005. ( download em PDF .)

— Joseph O'Rourke
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Esse sanduíche de presunto é um cientista mais sucesso do que a maioria das pessoas

— koverman47

Não tenho certeza de como a versão do conjunto de pontos desse problema descrito no link da wikipedia resolve a pergunta do OP sobre polígonos. Por favor, elabore se você quiser.

— Willard Zhan

Adicionei uma frase à Wikipedia citando o artigo de Stojmenovíc. Talvez mais tarde eu expandirei ainda mais essa entrada.

— Joseph O'Rourke