Conjunto independente em gráficos sem triângulo cúbico

Eu sei que o conjunto independente máximo em gráficos sem triângulo cúbico é NP-completo.

Ainda é NP-completo no caso de exigirmos que o conjunto independente seja do tamanho exato ? $|V|/2$

Basicamente, a instância YES de um problema de conjunto independente em gráficos sem triângulo cúbico deve ter exatamente nós . Nenhuma instância possui um conjunto independente de tamanho menor que . $|V|/2$ $|V|/2$

complexity-theory np-complete

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

cs.stackexchange.com/questions/1176/… pode ser relevante.

— Louis

Quais são as instâncias de NO?

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Ele está perguntando se o problema é $\alpha(G) = |G| / 2$ ondeé a ordem do gráfico. Deve ser possível inserir alguns vértices isolados no gráfico para aumentar o número de independência. Mohammad, você conhece a redução? Não é possível adicionar vértices isolados para obter a redução desejada?

| G |

$|G|$

n / 2 - k

$n/2 - k$

— GD

Não, não tenho redução.

— Mohammad Al-Turkistany

@ PålGD A redução não funcionaria, pois o problema usual pergunta se vez de . De fato, nem está claro se o problema está no NP.

α (G) \geq k

$\alpha(G) \geq k$

α (G) = k

$\alpha(G) = k$

— Yuval Filmus

Vamos começar provando que o conjunto independente máximo tem tamanho máximo de . Deixe- ser um conjunto independente. Para cada vértice , vamos ser o número de seus vizinhos em . Se , então sabemos que . Como o gráfico é cúbico,. Desde , o número de vértices tais que é pelo menos. Daí . $|V|/2$ $I$ $v$ $\alpha(v)$ $I$ $\alpha(v) \geq 1$ $v \notin I$ $\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ $\alpha(v) \leq 3$ $\alpha(v) \geq 1$ $|I|$ $|I| \leq |V|/2$

Quando podemos ter igualdade? Devemos ter , por isso, para cada vértice não em , todos os seus vizinhos devem estar em . O inverso também é verdadeiro - para cada vértice em , todos os seus vizinhos não estão em . Em outras palavras, o gráfico deve ser bipartido. Isso pode ser verificado em tempo polinomial. $\alpha(v) \in \{0,3\}$ $I$ $I$ $I$ $I$

— Yuval Filmus
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YuvalFilmus Muito obrigado. Isso fornece um algoritmo de tempo polinomial para o meu problema?

— Mohammad Al-Turkistany

Eu acho que sim - você concorda?

— Yuval Filmus