Completude fraca e forte

O que um algoritmo pseudo-polinomial nos diz sobre o problema que resolve? Não vejo como o tempo de execução melhora se o algoritmo for exponencial no comprimento da entrada e polinomial no valor da entrada; Então, como explicar essa mudança de exponencial para polinomial?

— saadtaame
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O que você quer dizer com "melhora"? Em relação a quê?

— Raphael

@Raphael De onde vem a parte polinomial?

— Saadtaame

Respostas:

Como afirmado em " Computadores e Intratabilidade: um Guia para a Teoria da Completude NP " Um algoritmo de tempo pseudo-polinomial exibirá ' comportamento exponencial ' somente quando confrontado com instâncias que contêm números ' exponencialmente grandes ', o que pode ser raro para as aplicações em que estamos interessados. Nesse caso, esse tipo de algoritmo pode servir a nossos propósitos quase tão bem quanto um algoritmo de tempo polinomial. ”

Você pode considerar a mochila como um bom exemplo de problema de Np completo fraco . Nesse caso, a complexidade da solução de programação dinâmica é $O(nW)$ o que é bom na maioria dos casos práticos .

Sabe-se que não há algoritmo de tempo pseudo-polinomial para problemas de Strong NP-Complete (como Steiner Tree ), a menos que P = NP.

— Reza
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Isso significa que os algoritmos pseudopolinomiais funcionam para problemas que recebem entradas numéricas (como está implícito na sua resposta)?

— saadtaame 14/02

@ saadtaame: Sim, o ponto principal é que são problemas numéricos nos quais o tempo de execução está relacionado aos dados de entrada numéricos.

— Reza

Esta resposta refere-se a algoritmos quase- polinomiais, e não a algoritmos pseudopolinomiais .

Um algoritmo quasipolinomial nos diz que o problema provavelmente não é difícil para o NP. A (certa) Hipótese de Tempo Exponencial (ETH) comumente conhecida afirma que a 3SAT $n$ variáveis requer tempo $2^{\Omega(n)}$ . Como o 3SAT está no NP, o ETH implica que qualquer problema de NP completo requer tempo $2^{n^{\Omega(1)}}$ , que cresce mais rápido do que o quase-polinomial (supondo que o último seja $2^{\log^{O(1)} n}$ )

— Yuval Filmus
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Mas existem muitos problemas difíceis de NP com algoritmos pseudo-polinomiais.

— Raphael

Você pode dar um exemplo?

— Yuval Filmus

pseudo-polinomial não está assumindo:

2^{\log^{O (1)} n}

$2^{\log^{O(1)} n}$ tem uma definição muito clara. Também não vi essa suposição em nenhum lugar, você forneceria alguma referência? Raphael também está certo: para todos os problemas que pertencem a fracamente np-compelete (significa que eles também são np-hard), existe um algoritmo de tempo pseudo-polinomial.

Pseudo-polinomial significa coisas diferentes para pessoas diferentes. Quanto à hipótese do tempo exponencial, o google possui bastante arquivo.

— Yuval Filmus

Na verdade não

2^{O (\log n)} = n^{O (1)}

$2^{O(\log n)} = n^{O(1)}$ ,

2^{\log^{O (1)} n}

$2^{\log^{O(1)} n}$ é quase-polinomial (ah - esse é o termo correto!). A classe de complexidade

2^{n^{O (1)}}

$2^{n^{O(1)}}$ é geralmente chamado de subexponencial.

— Yuval Filmus