Gramática livre de contexto para {a ^ ib ^ j | i, j ≥ 0; eu ≠ 2j}

Alguém pode ajudar com isso:

$L=\{a^ib^j \mid i,j \ge 0 \text{ and } i \ne 2j\}$

Estou tentando escrever uma gramática para esse idioma? Eu não sei como fazer isso. Eu tentei isso:
$S \rightarrow aaAb \mid aA \\ A \rightarrow aA \mid a$

Considere os dois idiomas:
$L_1 = \{a^ib^j \mid i, j \ge 0 \text{ and } i > 2j\}$
$L_2 = \{a^ib^j \mid i, j \ge 0 \text{ and } i < 2j\}$

Convença-se de que $L = L_1 \cup L_2$.

No $L_1$, o número de $a$são mais que o dobro de$b$, então tem que haver pelo menos um $a$ (quando não houver $b$'s). Além disso, para cada adição de$b$pelo menos 2 $a$deve ser adicionado. Você pode gerar$L_1$ Como:

$S_1 \rightarrow aA \\ A \rightarrow aaAb \mid aA \mid \varepsilon$

$L_2$é um pouco mais complicado. O número de$a$são menos que o dobro do número de $b$para que possa haver $0$ $a$, mas diferente de zero $b$'s. Considere o "caso base" de$1$ $b$. A cadeia pode ser$b$ ou $ab$. Vamos deixar a primeira regra gerar esse caso base. Depois disso, observe que, para cada adição de$b$, podemos aumentar o número de $a$é no máximo $2$. Então podemos adicionar$0$, $1$ou $2$ $a$para cada adição de $b$. Vamos deixar a segunda regra lidar com isso. Então, o CFG para$L_2$ torna-se:

$S_2 \rightarrow Bb \mid aBb \\ B \rightarrow Bb \mid aBb \mid aaBb \mid \varepsilon$

Observe que os CFGs são fechados em união, ou seja, a união de dois CFGs também é um CFG. Então, para obter o CFG para$L$, deixe o estado inicial $S$ do $L$ levar ao estado inicial de $L_1$ou de $L_2$:

$S \rightarrow S_1 \mid S_2$

O restante das regras permanece o mesmo dos dois idiomas. Pode haver uma gramática mais simples, mas essa foi a primeira que veio à mente.

Comece com uma gramática para $\{a^i b^{2 i} : i \ge 0\}$:

$$S \rightarrow a S bb \mid \epsilon$$ Agora corte-o para que haja mais $a$ do que $bb$: $$\begin{align*} S &\rightarrow a S bb \mid A \\ A &\rightarrow a A \mid a \end{align*}$$ A modificação para forçar mais $b$é semelhante e deixado para você. Acrescenta uma produção não-terminal e três produções.