Computando matriz inversa quando um elemento é alterado

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Dada uma matriz . Deixe a matriz inversa de ser (ou seja, ). Suponha que um elemento em seja alterado (digamos que para ). O objetivo é encontrar após essa alteração. Existe um método para encontrar esse objetivo mais eficiente do que recalcular a matriz inversa a partir do zero. $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— AJed
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Ótimas respostas: Encontrei o seguinte artigo que aborda exatamente esse problema: Sankowski, Piotr. "Fechamento dinâmico transitivo via matriz dinâmica inversa." Fundações de Ciência da Computação, 2004. Proceedings. 45º Simpósio Anual do IEEE em. IEEE, 2004.

— Ajed

Se o documento responder ou solucionar seu problema de alguma forma, não há problema em adicionar uma resposta! :) Afinal, os comentários podem ser excluídos a qualquer momento.

— Juho

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A fórmula de Sherman-Morrison poderia ajudar:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Seja e , onde é o vetor da coluna de base padrão. Você pode verificar se, se a matriz atualizada é então $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
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Uma única alteração de elemento, dada com , pode ser rastreada com uma atualização de classificação um. Então, sim, com certeza, existe uma maneira melhor do que recalcular o inverso do zero. $A$ $A^{-1}$

Seja a alteração do elemento . Usando como vetor da coluna unitária de um na posição e zera em outro lugar, temos $\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ é a matriz zero, exceto o valor de na posição . Você pode ver aqui como uma multiplicação correta de classificação correta com pode dar o novo inverso desejado? (Ou equivalente, operações de coluna elementares em .) $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

Ou, se preferir operações de linha, você pode usar

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

No primeiro caso, temos a identidade com uma linha adicionada. É fácil executar operações de coluna para recuperar a identidade. Execute essas operações em e o resultado é o novo inverso, conforme desejado. O segundo caso é a identidade com uma coluna adicionada. Nesse caso, você pode executar operações de linha. Você pode escolher o que for mais conveniente. $A^{-1}$

— Adam W
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Boa resposta, mas quão diferente é essa da anterior de Yuval?

— AJed

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Uma perspectiva diferente é tudo: se você gosta de operações dinâmicas, este formulário mostra os valores a serem zerados e as operações de linha ou coluna podem ser feitas nesse caso. Se uma linha inteira fosse alterada, ainda funcionaria, mas as operações da coluna em seriam necessárias.

A^{- 1}

$A^{-1}$

— adam W