Confluência da expansão beta

Vamos $\to_\beta$ seja $\beta$ -redução no $\lambda$ -calculus. Definir $\beta$ expansão $\leftarrow_\beta$ por $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ .

É $\leftarrow_\beta$ confluentes? Em outras palavras, temos que para qualquer $l,d,r$ , se $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ , então existe $u$ tal que $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ?

Palavras-chave: confluência ascendente, propriedade CR de cabeça para baixo

Comecei examinando a propriedade mais fraca: confluência local (ou seja, se $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , então $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ). Mesmo se isso fosse verdade, não implicaria confluência, já que a expansão $\beta$ não tem fim, mas eu pensei que isso me ajudaria a entender os obstáculos.

(Superior) No caso em que ambas as reduções são em alto nível, a hipótese torna-se $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ . Até $\alpha$ renomeação de , podemos assumir que $x_1\not =x_2$ e que nem $x_1$ nem $x_2$ são livres nesses termos.

(Lance) Se $x_1$ não é livre em $b_1$ , temos $b_1=b_2[a_2/x_2]$ e, por conseguinte, ter $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

Uma prova ingénuos por indução (em $b_1$ e $b_2$ ) para o caso (Superior) seria o seguinte:

Se $b_1$ for uma variável $y_1$ ,
- Se $y_1=x_1$ , a hipótese torna-se $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ , e que, de facto, $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .
- Se $y_1\not=x_1$ , então podemos simplesmente usar (Lance).
As mesmas provas aplicadas são $b_2$ é uma variável.
Para $b_1=\lambda y.c_1$ e $b_2=\lambda y.c_2$ , torna-se a hipótese $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ e a hipótese de indução dá $d$ tal que $(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ o que implica que $\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ . Infelizmente, não temos $\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ . (Isso me faz pensar em $\sigma$ redução.)
Um problema semelhante surge para aplicativos: os $\lambda$ s não estão onde deveriam estar.

lambda-calculus term-rewriting

— xavierm02
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@chi A menos que eu esteja enganado,

funciona.

(λ b . y b) y \leftarrow (λ a . (λ b . a b) y) y \to (λ a . a y) y

$(\lambda b.yb)y\leftarrow(\lambda a. (\lambda b. a b)y)y\rightarrow (\lambda a. a y)y$

— precisa saber é

Concordo um pouco com o @chi que parece confluente depois que você pensa sobre isso e vê alguns contra-exemplos. Mas, na verdade, e quanto a

(λ x . x x y) y \to y y y \leftarrow (λ x . y x x) y

$(\lambda x.x\;x\;y)\;y \to y\;y\;y \leftarrow (\lambda x.y\;x\;x)\;y$

— Rodolphe Lepigre

Embora fosse conveniente para mim se fosse verdade, sou um pouco mais pessimista. Um colega meu fez a seguinte observação, o que parece improvável: implicaria que dois programas arbitrários que computam o mesmo número inteiro (da igreja) possam ser combinados.

— precisa saber é o seguinte

A resposta é não. O Exercício 3.5.11 em Barendregt fornece um contra-exemplo atribuído a Plotkin, mas sem uma referência:

(λ x . b x (b c)) c

$(\lambda x. b x (b c)) c$

(λ x . x x) (b c)

$(\lambda x. x x) (b c)$ . Vou procurar uma prova.

— Gilles 'SO- stop be evil'

Publiquei o contra-exemplo como resposta, com o que pensei que seria uma prova, mas há uma etapa que não consigo entender. Se alguém puder descobrir, poste uma resposta e eu excluirei a minha.

— Gilles 'SO- stop be evil'

Respostas:

Dois contra-exemplos são:

$(\lambda x. b x (b c)) c$ e $(\lambda x. x x) (b c)$ (Plotkin).
$(\lambda x. a (b x)) (c d)$ e $a ((\lambda y. b (c y)) d)$ (Van Oostrom).

O contra-exemplo detalhado abaixo é apresentado em The Lambda Calculus: Its Syntax and Semantics por HP Barenredgt, edição revisada (1984), exercício 3.5.11 (vii). É atribuído a Plotkin (nenhuma referência precisa). Dou uma prova incompleta, que é adaptada de Vincent van Oostrom, de um contra-exemplo diferente, em Take Five: a Easy Expansion Exercise (1996) [PDF] .

A base da prova é o teorema da padronização, que nos permite considerar apenas expansões beta de uma determinada forma. Intuitivamente falando, uma redução padrão é uma redução que faz todas as suas contrações da esquerda para a direita. Mais precisamente, uma redução não é padrão se houver uma etapa $M_i$ cujo redex é um resíduo de um redex à esquerda do redex da etapa anterior $M_j$ ; “Esquerda” e “direita” para um redex são definidas pela posição de $\lambda$ que é eliminada quando o redex é contratado. O teorema da padronização afirma que, se $M \rightarrow_\beta^* N$ , há uma redução padrão de $M$ para $N$ .

Seja $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ e $R = (\lambda x. x x) (b c)$ . Ambos os termos beta-reduzem para $b c (b c)$ em uma etapa.

Suponha-se que há um antepassado comum $A$ tal que $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ . Graças ao teorema da padronização, podemos assumir que ambas as reduções são padrão. Sem perda de generalidade, suponha que $A$ seja o primeiro passo em que essas reduções diferem. Destas duas reduções, seja $\sigma$ aquele em que o redex do primeiro passo fica à esquerda do outro e escreva $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ onde $C_1$ é o contexto dessa contração e $(\lambda z. M) N$ a outra redução. é o redex. Deixei $\tau$

Como $\tau$ é padrão e seu primeiro passo é à direita do orifício em $C_1$ , ele não pode se contrair em $C_1$ nem à esquerda dele. Portanto, o termo final de $\tau$ tem a forma $C_2[(\lambda z. M') N']$ onde as partes de $C_1$ e $C_2$ à esquerda de seus orifícios são idênticas, $M \rightarrow_\beta^* M'$ e $N \rightarrow_\beta^* N'$ . Como $\sigma$ começa por reduzir em $C_1$ e nunca reduz mais à esquerda, seu termo final deve ser da forma $C_3[S]$ que a parte de $C_3$ à esquerda de seu orifício é idêntica à parte esquerda de $C_1$ e $C_2$ , e $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ .

Observe que cada um de $L$ e $R$ contém um único lambda que fica à esquerda do operador do aplicativo no nível superior. Como $\tau$ preserva a lambda de $\lambda z. M$ , este é o lambda em qualquer um de $L$ ou $R$ é o termo final de $\tau$ , e em que o termo o argumento da aplicação é obtido reduzindo $N$ . A REDEX está no nível superior, o que significa que $C_1 = C_2 = C_3 = []$ .

Se $\tau$ extremidades em $R$ , então $M \rightarrow_\beta^* z z$ , $N \rightarrow_\beta^* b c$ e $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$ . Se $N$ tem um descendente em $L$ então este descendente também deve reduzir para $b c$ que é a forma normal de pode ser uma lambda, então $N$ . Em particular, nenhum descendente de $N$ $\sigma$ não pode contrair uma subtermo da forma onde é um descendente de . Como o único subtermo de que reduz a é , o único descendente possível de em é a única ocorrência do próprio . $\check{N} P$ $\check{N}$ $N$ $L$ $b c$ $b c$ $N$ $L$ $b c$
Se $\tau$ extremidades em $L$ , em seguida, $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$ , $N \rightarrow_\beta^* c$ , e $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$ . Se $N$ tiver um descendente em $R$ , esse descendente também deverá reduzir a $c$ por confluência.

Neste ponto, a conclusão deve seguir facilmente, de acordo com van Oostrom, mas estou perdendo alguma coisa: não vejo como o rastreamento dos descendentes de $N$ fornece informações sobre $M$ . Desculpas pelo post incompleto, vou pensar durante a noite.

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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Observe que a redução $\beta$ pode fazer qualquer termo desaparecer. Assumindo que a variável $x$ não aparece livre no termo $v$ , você tem $(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$ e $(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ $t_1$ $t_2$ $\beta$ $t_1$ $t_2$ $u$ $u \to_\beta^\ast t_1$ $u \to_\beta^\ast t_2$

— Rodolphe Lepigre
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(λ x . v) t_{1} \leftarrow (λ x . (λ x . v) t_{1}) t_{2} \to (λ x . v) t_{2}

$(\lambda x .v) t_1\leftarrow (\lambda x .(\lambda x .v) t_1)t_2\rightarrow (\lambda x .v) t_2$

Porra, você está certo! Vou tentar pensar em outra coisa mais tarde, não tenho tempo agora.

— Rodolphe Lepigre