Especificação mínima da teoria dos tipos de Martin-Löf

Estou lendo a apresentação formal da teoria dos tipos de Martin-Löfs (apêndice do livro HoTT ). Os autores introduzem um hierarquia de universos, então e também W -Tipos , bem como números naturais N (indutivamente através de 0 e s u c c ). Eventualmente, eles adicionam tipos indutivos mais altos também.$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

Mas então me pergunto por que é necessário fazer na especificação da teoria. Os tipos de dados 1 e + e algébricos , na encarnação de ter tipos W , são suficientes para configurá-los? Por exemplo, com a abordagem inicial de álgebra . (Ou pelo menos depois que passamos do MLTT para o HoTT, temos tipos indutivos - afinal, os números inteiros Z emergem como um grupo de homotopia do tipo círculo S dentro da teoria.)$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

Ou tem a ver com a necessidade de recursão primitiva desde o início, definida ao lado de na apresentação? Essa é uma ideia que eu tenho, porque não sei muito bem como "definição é definida" nessa estrutura ou como a extensão da linguagem funciona formalmente. Devo acrescentar que reconheço que pelo menos uma noção informal de números e "maior" já é usada quando a hierarquia de universos é definida.$\mathbb N$

Caso se possa poupar e a especificação não ser mínima, existem outros itens que, em princípio, poderiam ser descartados? Por exemplo, eu poderia imaginar 2 e depois + vindo de alguma combinação de Π , Σ , 0 , 1 , mas não consegui fazê-lo.$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

O objetivo do sistema descrito no apêndice do livro HoTT é apresentar algo que corresponda ao que é usado pelo livro. O livro tem como objetivo ser educacional. Portanto, seria uma má idéia fazer tudo de uma maneira minimalista. Por exemplo, apresentamos separadamente porque é instrutivo ver como as construções indutivas funcionam em um caso familiar.$\mathbb{N}$

Você está perfeitamente correto, para iniciar tipos indutivos a partir de tipos gerais, você só precisa de 0 e 2 . Você obtém imediatamente 1 como 0 → 0 e obtém + de 2 e Σ . Depois disso, você obtém todas as somas finitas 1 + 1 + ⋯ + 1 . Nesse ponto, é fácil executar os tipos de dados algébricos usuais.$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

Se você deixar , então você começará de Π , Σ , 1 e 2 , e não poderá receber 0 de volta porque todos os tipos que você fizer serão habitados.$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

Suponha que você tenha apenas , Σ , 0 e 1 . Então você não pode fazer 2 porque pode mostrar que toda construção que você faz devolve 0 ou 1 . De fato, você não pode criar nenhuma família dependente interessante. Uma família maior de tipos, que é fechada sob Π , Σ , 0 e 1 , mas não contém 2 é o ( - 1 ) -Tipos (proposições).$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$