Contradição entre o Segundo Teorema da Incompletude de Gödel e a propriedade de Church-Rosser da CIC?

Por um lado, o Segundo Teorema da Incompletude de Gödel afirma que qualquer teoria formal consistente que seja forte o suficiente para expressar qualquer afirmação aritmética básica não pode provar sua própria consistência. Por outro lado, a propriedade de Church-Rosser de um sistema formal (de reescrita) nos diz que é consistente, no sentido de que nem todas as equações são deriváveis, por exemplo, K I , pois elas não têm a mesma normalidade. Formato. $\neq$

Então, o Cálculo de Construções Indutivas (CIC) estatisticamente define ambas as condições. É forte o suficiente para representar proposições aritméticas (de fato, apenas o cálcio já é capaz de codificar os números da Igreja e representar todas as funções recursivas primitivas). Além disso, a CIC também possui a confluência ou propriedade de Church-Rosser. Mas: $\lambda\beta\eta$

A CIC não deveria ser capaz de provar sua própria consistência pelo teorema da Segunda Incompletude?

Ou apenas afirma que o CIC não pode provar sua própria consistência dentro do sistema e, de alguma forma, a propriedade de confluência é um meta-teorema? Ou talvez a propriedade de confluência da CIC não garanta sua consistência?

Eu apreciaria muito se alguém pudesse lançar alguma luz sobre essas questões!

Obrigado!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
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x \to y

$x \rightarrow y$

x, y \in X

$x, y \in X$

λ

$\lambda$

\neq

$\neq$

Não sei nada sobre a CIC, mas a possibilidade óbvia seria que ela não prove sua própria propriedade Church-Rosser.

— Emil Jerabek

Normalização forte estaria mais próxima da consistência para uma teoria de tipos não? O CR implica que existem termos desiguais, mas isso não exclui um habitante do vazio. Normalização forte não é internamente provável para cic tão Godels teorema ainda detém

— Daniel Gratzer

A intuição é que geralmente é fácil mostrar que não há nenhum objeto normal ruim dentro do sistema. Agora, se pudermos demonstrar que todos os termos têm forma normal, estamos prontos. O algoritmo de normalização é fácil de formalizar. A parte difícil é mostrar que termina. Se tivermos funções que crescem rápido o suficiente dentro do sistema, podemos usá-las para provar um limite superior na finalização do algoritmo de normalização. Eu acho que o livro antigo de Girard deveria ter isso. Provas e tipos também podem. (Qualquer boa prova livro de teoria que discute funções totais prováveis de uma teoria deve tê-lo.)

— Kaveh

$\beta\eta$ $\bot$ $\lambda$

Segundo, como Emil apontou, mesmo que o CIC possua uma determinada propriedade (CR ou normalização), é perfeitamente possível que o CIC não possa provar essa propriedade. Nesse caso, não vejo nenhuma inconsistência no fato de a CIC ser capaz de provar sua própria propriedade de RC, e acho que esse é realmente o caso (argumentos combinatórios elementares geralmente são suficientes para RC, e esses argumentos definitivamente se enquadram no enorme poder lógico do CIC). No entanto, o CIC certamente não prova sua própria propriedade de normalização, precisamente devido ao segundo teorema da incompletude.

— Damiano Mazza
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⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

λ

$\lambda$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$