As reduções mais internas são perpétuas no cálculo λ não tipado?

(Eu já perguntei isso no MathOverflow, mas não tenho respostas lá.)

fundo

No cálculo lambda não tipado, um termo pode conter muitos redexos, e diferentes opções sobre qual deles reduzir podem produzir resultados totalmente diferentes (por exemplo, $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ que em um passo ( -) reduz-se a ou a si próprio). Diferentes (sequências de) escolhas de onde reduzir são chamadas de estratégias de redução . Diz- se que um termo está normalizando se existir uma estratégia de redução que traga $\beta$ $y$ $t$ $t$ para a forma normal. Diz-se que um termo está fortemente normalizando se toda estratégia de redução levar à forma normal. (Não estou preocupado com isso, mas a confluência garante que não pode haver mais de uma possibilidade.) $t$ $t$

Diz-se que uma estratégia de redução está normalizando (e, em certo sentido, é melhor possível) se sempre que tiver uma forma normal, é aí que acabaremos. A estratégia mais à esquerda e mais à esquerda está normalizando. $t$

No outro extremo do espectro, uma estratégia de redução é considerada perpétua (e é, de certa forma, a pior possível) se sempre que houver uma sequência de redução infinita de um termo , a estratégia encontra essa sequência - em outras palavras, nós poderíamos deixar de normalizar, então nós iremos. $t$

Conheço as estratégias de redução perpétua e dadas respectivamente por: e (nos dois casos, o -redex indicado é o mais à esquerda no termo - e, em formas normais, as estratégias de redução são necessariamente identitárias.) $F_\infty$ $F_{bk}$

\begin{array}{ll} F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & E se t está fortemente normalizando \\ F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{b k} (t)] & de outra forma \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

\begin{array}{ll} F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & E se x ocorre em s, ou se t está na forma normal \\ F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{\infty} (t)] & de outra forma \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$ é ainda máximo - se normalizar um termo, ele utilizou a maior seqüência de redução possível para fazer isso. (Veja, por exemplo, 13.4 no livro de Barendregt.)

Considere agora a estratégia de redução mais à esquerda e à mais interna . Informalmente, ele reduzirá apenas um redex que não contém outros redexes. Mais formalmente, é definido por $\beta$

\begin{array}{ll} eu (t) = t & E se t na forma normal \\ eu (λ x . s) = λ x . eu (s) & para s não na forma normal \\ eu (s t) = eu (s) t & para s não na forma normal \\ eu (s t) = s eu (t) & E se s, mas não t está na forma normal \\ eu ((λ x . s) t) = s [t / x] & E se s, t ambos na forma normal \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

A intuição natural para a redução mais à esquerda é que ela fará todo o trabalho - nenhum redex pode ser perdido e, portanto, deve ser perpétuo. Como a estratégia correspondente é perpétua para a lógica combinatória (sem tipo) (as reduções mais internas são perpétuas para todas as TRWs ortogonais), isso não parece um otimismo de olhos azuis completamente irrestrito ...

A redução mais à esquerda é uma estratégia perpétua para o cálculo -calculado? $\lambda$

Se a resposta for "não", um ponteiro para um contra-exemplo também seria muito interessante.

— kow
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Crosspost de MO.

— Hsien-Chih Chang,

... como mencionado na primeira linha.

— kow

@ kow: Sim, você está certo, e não há nada errado com a crossposting :) O link serve apenas para o benefício de seguir os comentários e as respostas no MO, a fim de evitar a resposta dupla. Veja a discussão sobre meta .

— Hsien-Chih Chang,

@ kow: Quando você cruzar uma pergunta da próxima vez, não se esqueça de adicionar um link, de preferência nas duas direções.

— Tsuyoshi Ito

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$

$F_\infty$ $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$

— Radu GRIGore
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