O que é a ativação GELU?

Eu estava examinando um artigo do BERT que usa GELU (Gaussian Error Linear Unit), que afirma a equação como

$$GELU(x) = xP(X ≤ x) = xΦ(x).$$ que se aproxima de $$0.5x(1 + tanh[\sqrt{ 2/π}(x + 0.044715x^3)])$$ Você poderia simplificar a equação e explicar como ela foi aprovada.

Função GELU

Podemos expandir a distribuição cumulativa de $\mathcal{N}(0, 1)$ , ou seja, $\Phi(x)$ , da seguinte maneira:

$$\text{GELU}(x):=x{\Bbb P}(X \le x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$$

Observe que isso é uma definição , não uma equação (ou uma relação). Os autores forneceram algumas justificativas para esta proposta, por exemplo, uma analogia estocástica , porém matematicamente, essa é apenas uma definição.

Aqui está o enredo de GELU:

Aproximação de Tanh

Para esse tipo de aproximação numérica, a idéia principal é encontrar uma função semelhante (principalmente baseada na experiência), parametrizá-la e ajustá-la a um conjunto de pontos da função original.

Sabendo que está muito próximo de$\text{erf}(x)$$\text{tanh}(x)$

e a primeira derivada de coincide com a de em , que é , passamos a ajustar (ou com mais termos) para um conjunto de pontos .$\text{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$$\text{tanh}(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)$$x=0$$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$$\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+ax^2+bx^3+cx^4+dx^5)\right)$$ $\left(x_i, \text{erf}\left(\frac{x_i}{\sqrt{2}}\right)\right)$

Eu ajustei essa função em 20 amostras entre ( usando este site ), e aqui estão os coeficientes:$(-1.5, 1.5)$

Ao definir , foi estimado em . Com mais amostras de uma faixa maior (esse local é permitido apenas 20), o coeficiente estará mais próximo do do papel . Finalmente chegamos$a=c=d=0$$b$$0.04495641$$b$$0.044715$

$\text{GELU}(x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\simeq 0.5x\left(1+\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+0.044715x^3)\right)\right)$

com erro quadrático médio para .$\sim 10^{-8}$$x \in [-10, 10]$

Observe que se não utilizássemos o relacionamento entre as primeiras derivadas, o termo teria sido incluído nos parâmetros da seguinte maneira que é menos bonito (menos analítico, mais numérico)!$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$$0.5x\left(1+\text{tanh}\left(0.797885x+0.035677x^3\right)\right)$$

Utilizando a paridade

Conforme sugerido por @BookYourLuck , podemos utilizar a paridade de funções para restringir o espaço de polinômios em que pesquisamos. Ou seja, como é uma função ímpar, ou seja, e também é uma função ímpar, função polinomial dentro também deve ser ímpar (deve ter poderes ímpares de ) para ter $\text{erf}$$f(-x)=-f(x)$$\text{tanh}$$\text{pol}(x)$$\text{tanh}$$x$

$$\text{erf}(-x)\simeq\text{tanh}(\text{pol}(-x))=\text{tanh}(-\text{pol}(x))=-\text{tanh}(\text{pol}(x))\simeq-\text{erf}(x)$$

Anteriormente, tivemos a sorte de acabar com coeficientes (quase) zero para potências pares e ; no entanto, em geral, isso pode levar a aproximações de baixa qualidade que, por exemplo, têm um termo como que está sendo cancelado por termos extras (pares ou ímpares) em vez de simplesmente optar por .$x^2$$x^4$$0.23x^2$$0x^2$

Aproximação sigmóide

Uma relação semelhante ocorre entre e (sigmoide), proposta no artigo como outra aproximação, com erro quadrático médio para .$\text{erf}(x)$$2\left(\sigma(x)-\frac{1}{2}\right)$$\sim 10^{-4}$$x \in [-10, 10]$

Aqui está um código Python para gerar pontos de dados, ajustar as funções e calcular os erros quadráticos médios:

import math
import numpy as np
import scipy.optimize as optimize


def tahn(xs, a):
    return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs]


def sigmoid(xs, a):
    return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs]


print_points = 0
np.random.seed(123)
# xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0,
#       .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2]
# xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8)))
# xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6)))
xs = np.arange(-10, 10, 0.001)
erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs])
ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs])

# Fit tanh and sigmoid curves to erf points
tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs)
print('Tanh fit: a=%5.5f' % tuple(tanh_popt))

sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs)
print('Sigmoid fit: a=%5.5f' % tuple(sig_popt))

# curves used in https://mycurvefit.com:
# 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))
# 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))
y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs])
tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean()
y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs])
tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean()

# curve used in https://mycurvefit.com:
# 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5)
y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs])
sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean()
y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs])
sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean()

print('Paper tanh error:', tanh_error_paper)
print('Alternative tanh error:', tanh_error_alt)
print('Paper sigmoid error:', sigmoid_error_paper)
print('Alternative sigmoid error:', sigmoid_error_alt)

if print_points == 1:
    print(len(xs))
    for x, erf in zip(xs, erfs):
        print(x, erf)

Resultado:

Tanh fit: a=0.04485
Sigmoid fit: a=1.70099
Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08
Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08
Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05
Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05

Observe primeiro que por paridade de . Precisamos mostrar que por .

$$\Phi(x) = \frac12 \mathrm{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\right)$$ $\mathrm{erf}$ $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) \approx \tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right)$$ $a \approx 0.044715$

Para grandes valores de , ambas as funções são delimitadas em . Para pequeno , a respectiva série Taylor lê e Substituindo, obtemos que e Equacionando o coeficiente para , encontramos próximo ao do$x$$[-1, 1]$$x$

$$\tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ $$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3).$$ $$\tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right) = \sqrt\frac{2}{\pi} \left(x + \left(a-\frac{2}{3\pi}\right)x^3\right) + o(x^3)$$ $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) = \sqrt\frac2\pi \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3).$$ $x^3$ $$a \approx 0.04553992412$$ $0.044715$.