Há pessoas que fazem isso, principalmente para hospedagem compartilhada de servidores.
Pensando nas questões aqui, não há almoço grátis. Você provavelmente poderia fazer isso com esquemas de uma maneira transparente do aplicativo. No entanto, você obtém milhares de esquemas e dezenas de milhares de tabelas, o que apresentará problemas adicionais.
Eu acho que, no geral, a abordagem de vários bancos de dados é a mais correta, considerando seus comentários.
O gerenciamento (como backups) se tornará interessante. Também eu acho que em algum momento as conexões com o db começarão a demorar mais tempo. Se você estiver usando o pg_hba.conf para restringir o acesso (o que você deve fazer), isso também se tornará uma dor de cabeça e você provavelmente desejará criar uma solução para gerar esse arquivo para você ...